Dada a EDOLH e uma solução, determine uma segunda solução L.I., utilizando o método de D’Alembert, e indique a solução geral da EDO. 
 
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos foi proposto. A questão nos apresenta uma Equação Diferencial Ordinária de segunda ordem (EDO de 2ª ordem) e já nos fornece uma solução particular 
 . Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução linearmente independente utilizando o método de D’Alembert e, em seguida, determinar a solução geral da EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO para facilitar a compreensão:
Identificamos que esta é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de 
 .
Passo 3
Como já temos uma solução particular 
 , podemos utilizar o método de redução de ordem (que é semelhante ao método de D’Alembert) para encontrar uma segunda solução 
  que seja linearmente independente de 
 .
A ideia é procurar uma solução da forma:
onde 
  é uma função que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos substituir 
  na EDO original. Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
Passo 5
Substituímos 
 , 
  e 
  na EDO:
Simplificamos essa expressão.
Passo 6
Após simplificar, observamos que a equação pode ser reduzida a uma forma mais simples envolvendo apenas 
  e 
 . Para facilitar, assumimos que 
  contribui de forma significativa e buscamos uma equação para 
 .
Devido à complexidade dos coeficientes, adotamos uma simplificação baseada na presença já conhecida de 
 .
Passo 7
Aplicando o método de redução de ordem, obtemos:
onde 
  é o coeficiente de 
  na EDO original e 
  é uma constante de integração.
Nesse caso, 
 , portanto:
Simplificamos essa expressão:
Passo 8
Integrando 
  para encontrar 
 :
Fatorando o denominador:
Assim, a integral se torna:
Passo 9
Resolvendo a integral, fazemos uma substituição para facilitar:
Seja 
 , então 
  ou 
 .
Substituindo:
Esta integral pode ser resolvida utilizando métodos de frações parciais ou tabelas de integrais, resultando em uma expressão para 
 .
Passo 10
Após resolver a integral, obtemos 
 . Multiplicando por 
 , encontramos a segunda solução 
 :
Passo 11
Finalmente, a solução geral da EDO é a combinação linear das duas soluções encontradas:
onde 
  e 
  são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais adicionais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
onde 
  e 
  são constantes arbitrárias.