Suponha que a superfície 
  e a curva 
  satisfaçam as hipóteses do Teorema de Stokes no espaço. Dadas as funções suaves 
 , demonstre que
 
Em seguida, conclua que
 
Sugestão: Inicialmente, prove que para todo campo vetorial suave 
 , vale a identidade 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teorema de Stokes, que conecta integrais de linha com integrais de superfície envolvendo campos vetoriais. A gente tem duas funções suaves 
  e 
  definidas no espaço tridimensional, e precisa provar uma igualdade envolvendo integrais sobre uma curva 
  e sobre uma superfície 
  que tem 
  como fronteira. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como gradiente (
 ), rotacional (
 ), e como aplicar o Teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos seguir a sugestão e provar a identidade para todo campo vetorial suave 
 :
Aqui, 
  representa o rotacional (ou curl) do campo vetorial. Essa identidade nos ajuda a relacionar o rotacional de um produto escalar com o produto escalar do rotacional e o produto vetorial do gradiente.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de 
 . Usando a definição de rotacional em coordenadas, temos:
Aplicando a regra do produto para o rotacional, que é similar à regra do produto para derivadas, obtemos:
Isso confirma a identidade que queríamos provar:
Passo 4
Agora que temos essa identidade, vamos aplicá-la ao nosso problema original. Queremos demonstrar que:
Para isso, vamos escolher o campo vetorial 
 . Assim, a identidade fica:
Sabemos que o rotacional do gradiente de qualquer função suave é zero, ou seja:
Portanto, a identidade simplifica para:
Passo 5
Aplicando o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um rotacional sobre a curva 
  com a integral de superfície sobre 
 , temos:
Substituindo pela nossa identidade comprovada:
Isso prova a primeira parte do enunciado.
Passo 6
Para a segunda parte, precisamos concluir que:
Vamos começar observando que:
E de maneira similar:
Note que 
  e 
  são gradientes de funções escalares.
Passo 7
Aplicando o Teorema de Stokes novamente, mas agora para o rotacional desses gradientes, temos:
E da mesma forma:
Isso porque o rotacional do gradiente de qualquer função suave é sempre zero.
Resposta
Portanto, concluímos que: