Sem resolver a equação diferencial 
 , faça um esboço das soluções e encontre as soluções de equilíbrio, dizendo em cada caso se o equilíbrio é estável, instável ou semi-estável.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial 
  e precisamos:
- Fazer um esboço das soluções dessa equação.
 - Encontrar as soluções de equilíbrio.
 - Dizer se cada equilíbrio é estável, instável ou semi-estável.
 
Vamos usar conceitos de equações diferenciais e análise de estabilidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma solução de equilíbrio. É uma constante 
  que satisfaz a equação diferencial, ou seja, onde 
 . Então, vamos encontrar os valores de 
  que fazem 
 .
Passo 3
Calculando 
 , sabemos que isso acontece quando 
 , onde 
  é um número inteiro. Portanto, as soluções de equilíbrio são 
  para qualquer inteiro 
 .
Passo 4
Agora, vamos verificar a estabilidade de cada equilíbrio. Para isso, analisamos a derivada da função que define 
 . No nosso caso, 
 , então sua derivada é 
 .
Passo 5
Avaliar 
  nos pontos de equilíbrio 
 :
- 
Isso significa que: - Se 
for par, (positivo).  - Se 
for ímpar, (negativo).  
Passo 6
A estabilidade é determinada pelo sinal de 
 :
- Se 
, o equilíbrio é estável.  - Se 
, o equilíbrio é instável.  - Se 
, precisaríamos de uma análise mais detalhada (semi-estável).  
Então:
- Para 
par: ⇒ Instável.  - Para 
ímpar: ⇒ Estável.  
Passo 7
Agora, vamos fazer um esboço das soluções. Em um gráfico de 
  versus 
 , os equilíbrios 
  serão linhas horizontais. As soluções próximas aos pontos estáveis vão se aproximar dessas linhas à medida que 
  aumenta, enquanto as soluções próximas aos pontos instáveis vão se afastar.
Resposta
As soluções de equilíbrio são 
  para todo inteiro 
 . Para cada 
 :
- Se 
for par, o equilíbrio é instável.  - Se 
for ímpar, o equilíbrio é estável.