Dada a elipse
,
(a) Determine a equação reduzida, o centro e os vértices.
(b) Determine os focos e a excentricidade.
(c) Esboce seu gráfico.
(a) Determine a equação reduzida, o centro e os vértices.
(b) Determine os focos e a excentricidade.
(c) Esboce seu gráfico.
Passo 1
O enunciado nos dá a elipse
As perguntas são:
(a) Determine a equação reduzida (forma canônica), o centro e os vértices.
(b) Determine os focos e a excentricidade.
(c) Esboce o gráfico da elipse.
(a) Determine a equação reduzida (forma canônica), o centro e os vértices.
(b) Determine os focos e a excentricidade.
(c) Esboce o gráfico da elipse.
Informações relevantes fornecidas: a equação geral da cônica com termos quadráticos e termo linear em
. Não há termo misto
, então espera-se que a elipse esteja alinhada com os eixos coordenados (sem rotação). A resolução começa por completar o quadrado para obter a forma reduzida.
Passo 2
Vamos reorganizar a equação e completar o quadrado para
. Agrupando termos em
e
:
Fatorem o coeficiente de
no grupo em
:
Agora completamos o quadrado em
. Lembre que para completar o quadrado em
fazemos
porque
. Substituindo:
Distribuindo o
:
Somando os constantes:
Passando
para o outro lado:
Passo 3
Colocamos na forma padrão dividindo por
:
Isto é a forma reduzida (canônica) de uma elipse com centro
onde
. Comparando:
-
, (logo o centro é ). -
e . Como , o semieixo maior está na direção -horizontal. - Extraímos
e .
Explicação didática curta: na forma
,
é o semieixo maior (se
) e está na direção do parêntese que contém
. O centro é o par
.
Passo 4
Agora determinamos os vértices. Para uma elipse centrada em
com eixo maior horizontal (como aqui), os vértices são:
Substituindo
,
,
:
Os co-vértices (extremos do eixo menor) são
Passo 5
Para encontrar os focos usamos a relação entre
,
e
(distância do centro a cada foco):
Isto vale para elipse com eixo maior horizontal. Substituindo
e
:
Como o eixo maior é horizontal, os focos ficam em
, ou seja:
Passo 6
A excentricidade
da elipse é definida como
Substituindo
e
:
Interpretação rápida:
para elipses; quanto mais próximo de 1, mais “esticada” é a elipse. Aqui
, uma elipse moderadamente alongada.
Passo 7
Como esboçar a elipse (passo a passo para a prova, sem calculadora):
- Desenhe os eixos
e e marque o centro . - Marque os vértices
e no eixo (distância à esquerda e à direita do centro). - Marque os co-vértices
e no eixo (distância acima e abaixo do centro). - Trace o retângulo auxiliar com cantos em
= . A elipse toca os lados desse retângulo nos pontos médios. - Desenhe a curva suave que passa pelos vértices e pelos co-vértices, simétrica em relação ao centro e aos eixos, e passando por esses pontos marcados.
- Marque os focos em
dentro da elipse ao longo do eixo maior.
Dica: os interceptos com os eixos podem ser verificados rapidamente: colocando
obtém-se
e
(os vértices), e colocando
obtém-se
, que são pontos de interseção com o eixo
(não coincidem com os co-vértices).
Resposta
(a)
centro
vértices
e
.\n
(b) Focos excentricidade
\n
(c) Esboço: centro ; eixo maior horizontal de comprimento
entre
e
; eixo menor vertical de comprimento
entre
e
; focos em
.
(b) Focos
(c) Esboço: centro