Dada a elipse 4 x^{2}+9 y^{2}-8 x-32=0,
(a) Determine a equação reduzida, o centro e os vértices.
(b) Determine os focos e a excentricidade.
(c) Esboce seu gráfico.

Passo 1

O enunciado nos dá a elipse
4x^{2}+9y^{2}-8x-32=0.
As perguntas são:
(a) Determine a equação reduzida (forma canônica), o centro e os vértices.
(b) Determine os focos e a excentricidade.
(c) Esboce o gráfico da elipse.
Informações relevantes fornecidas: a equação geral da cônica com termos quadráticos e termo linear em x. Não há termo misto xy, então espera-se que a elipse esteja alinhada com os eixos coordenados (sem rotação). A resolução começa por completar o quadrado para obter a forma reduzida.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação e completar o quadrado para x. Agrupando termos em x e y:
4x^{2}-8x+9y^{2}-32=0.
Fatorem o coeficiente de x^{2} no grupo em x:
4\bigl(x^{2}-2x\bigr)+9y^{2}-32=0.
Agora completamos o quadrado em x. Lembre que para completar o quadrado em x^{2}-2x fazemos
x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1,
porque (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1. Substituindo:
4\bigl((x-1)^{2}-1\bigr)+9y^{2}-32=0.
Distribuindo o 4:
4(x-1)^{2}-4+9y^{2}-32=0.
Somando os constantes:
4(x-1)^{2}+9y^{2}-36=0.
Passando 36 para o outro lado:
4(x-1)^{2}+9y^{2}=36.

Passo 3

Colocamos na forma padrão dividindo por 36:
\frac{(x-1)^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1.
Isto é a forma reduzida (canônica) de uma elipse com centro (h,k) onde (x-h)^{2}/a^{2}+(y-k)^{2}/b^{2}=1. Comparando:
  • h=1, k=0 (logo o centro é (1,0)).
  • a^{2}=9 e b^{2}=4. Como a^{2}>b^{2}, o semieixo maior está na direção x-horizontal.
  • Extraímos a=\sqrt{9}=3 e b=\sqrt{4}=2.
Explicação didática curta: na forma \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1, a é o semieixo maior (se a>b) e está na direção do parêntese que contém a^{2}. O centro é o par (h,k).

Passo 4

Agora determinamos os vértices. Para uma elipse centrada em (h,k) com eixo maior horizontal (como aqui), os vértices são:
(h\pm a,\,k).
Substituindo h=1, k=0, a=3:
(1-3,\,0)=(-2,0)\quad\text{e}\quad(1+3,\,0)=(4,0).
Os co-vértices (extremos do eixo menor) são
(h,\,k\pm b)=(1,\pm 2).

Passo 5

Para encontrar os focos usamos a relação entre a, b e c (distância do centro a cada foco):
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Isto vale para elipse com eixo maior horizontal. Substituindo a^{2}=9 e b^{2}=4:
c^{2}=9-4=5\quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{5}.
Como o eixo maior é horizontal, os focos ficam em (h\pm c,\,k), ou seja:
(1\pm\sqrt{5},\,0).

Passo 6

A excentricidade e da elipse é definida como
e=\frac{c}{a}.
Substituindo c=\sqrt{5} e a=3:
e=\frac{\sqrt{5}}{3}.
Interpretação rápida: 0<e<1 para elipses; quanto mais próximo de 1, mais “esticada” é a elipse. Aqui e\approx0,745, uma elipse moderadamente alongada.

Passo 7

Como esboçar a elipse (passo a passo para a prova, sem calculadora):
  • Desenhe os eixos x e y e marque o centro (1,0).
  • Marque os vértices (-2,0) e (4,0) no eixo x (distância a=3 à esquerda e à direita do centro).
  • Marque os co-vértices (1,2) e (1,-2) no eixo y (distância b=2 acima e abaixo do centro).
  • Trace o retângulo auxiliar com cantos em (h\pm a,\,k\pm b) = (-2,\pm2),(4,\pm2). A elipse toca os lados desse retângulo nos pontos médios.
  • Desenhe a curva suave que passa pelos vértices e pelos co-vértices, simétrica em relação ao centro e aos eixos, e passando por esses pontos marcados.
  • Marque os focos em (1\pm\sqrt{5},0) dentro da elipse ao longo do eixo maior.
Dica: os interceptos com os eixos podem ser verificados rapidamente: colocando y=0 obtém-se x=-2 e x=4 (os vértices), e colocando x=0 obtém-se y=\pm\sqrt{32/9}=\pm\frac{4\sqrt{2}}{3}, que são pontos de interseção com o eixo y (não coincidem com os co-vértices).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{(x-1)^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1; centro (1,0); vértices (-2,0) e (4,0).\n
(b) Focos (1\pm\sqrt{5},0); excentricidade e=\dfrac{\sqrt{5}}{3}.\n
(c) Esboço: centro (1,0); eixo maior horizontal de comprimento 2a=6 entre (-2,0) e (4,0); eixo menor vertical de comprimento 2b=4 entre (1,-2) e (1,2); focos em (1\pm\sqrt{5},0).

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