Dada a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{1+\cos x}{2-\sin y}
(a) Determine a sua solução. R: 2 y+\cos y=x+\sin x+C
(b) A equação diferencial apresentada é linear? R: Não, pois não pode ser escrita na forma y^{\prime}+ f(x) y=g(x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \cos x}{2 - \sin y}
e pede duas coisas:
(a) encontrar a sua solução geral;
(b) verificar se a equação é linear (i.e., se pode ser escrita na forma y' + f(x)\,y = g(x)).
O conteúdo necessário é o método de variáveis separáveis e o reconhecimento de equação linear de primeira ordem.

Passo 2

Vamos separar as variáveis. Basta multiplicar ambos os lados por (2 - \sin y)\,dx:
(2 - \sin y)\,dy = (1 + \cos x)\,dx.

Passo 3

Agora integramos cada lado:
\int (2 - \sin y)\,dy = \int (1 + \cos x)\,dx.
Calculemos:
\int 2\,dy = 2y, \qquad \int (-\sin y)\,dy = \cos y,
\int 1\,dx = x, \qquad \int \cos x\,dx = \sin x.
Logo, a integral dá
2y + \cos y = x + \sin x + C,
que é a solução implícita geral.

Passo 4

Para ser linear de primeira ordem, a equação teria de poder ser posta em
y' + P(x)\,y = Q(x).
Aqui o lado direito depende de y de forma não linear (está no denominador em 2 - \sin y), então não se encaixa nessa forma.

Resposta

(a) A solução geral é
2y + \cos y = x + \sin x + C.
(b) Não, pois não pode ser escrita na forma \;y' + f(x)\,y = g(x).

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