Uma força eletromotriz de 100 volts é aplicada em um circuito em série RC, no qual a resistência é de 200 ohms e a capacitância é 10^{-1} farads, com nenhuma carga no capacitor no instante inicial. Obtenha a carga e a corrente no capacitor no instante t. \quad \mathrm{R}: q(t)=10-10 e^{-0,05 t} \quad e i(t)=0,5 e^{-0,05 t}

Passo 1

O enunciado diz que aplicamos uma fonte de 100 V a um circuito série R\!C, com R=200, \Omega e C=10^{-1},F, e que o capacitor não tem carga em t=0. O conteúdo é a análise de regime transitório em circuito R\!C, que usaremos a Lei de Kirchhoff de tensões e a relação i=\tfrac{dq}{dt} para montar e resolver uma equação diferencial de primeira ordem.

Passo 2

Aplicamos a Lei de Kirchhoff de tensões ao laço:
\mathcal{E} - i\,R - \frac{q}{C} = 0
como i=\frac{dq}{dt}, obtemos
\frac{dq}{dt} + \frac{1}{R\,C}\,q = \frac{\mathcal{E}}{R}.

Passo 3

Substituindo R=200, \Omega, C=0,1,F e \mathcal{E}=100,V, temos
\frac{dq}{dt} + \frac{1}{200\cdot0,1}\,q = \frac{100}{200},
isto é,
\frac{dq}{dt} + 0,05\,q = 0,5.

Passo 4

Resolvendo a equação diferencial linear:
– Homogênea: \frac{dq_h}{dt}+0,05\,q_h=0 leva a
q_h(t)=A\,e^{-0,05t}.
– Particular constante: supondo q_p=Q, temos 0+0,05\,Q=0,5, logo
Q = \frac{0,5}{0,05}=10.
Assim a solução geral é
q(t)=10 + A\,e^{-0,05t}.

Passo 5

Usando a condição inicial q(0)=0
0 = 10 + A \quad\Rightarrow\quad A=-10.
Portanto
q(t)=10 - 10\,e^{-0,05t}.
A corrente é
i(t)=\frac{dq}{dt}=0,5\,e^{-0,05t}.

Resposta

q(t)=10 - 10\,e^{-0,05t},\qquad i(t)=0,5\,e^{-0,05t}.

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