Dado o problema de valor inicial
(\cos x) y^{\prime}+(\sin x) y=3, \quad y(0)=1
(a) Determine um intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única). R:\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)
(b) Obtenha a sua solução do PVI. R: y=3 \sin x+\cos x

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
(\cos x)\,y' + (\sin x)\,y = 3,\quad y(0)=1
Esse é um caso de equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos precisar (i) aplicar o Teorema de Existência e Unicidade para ODEs lineares e (ii) usar o método do fator integrante para encontrar a solução explícita.

Passo 2

Para existência e unicidade, precisamos que as funções
P(x)=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x \quad\text{e}\quad Q(x)=\frac{3}{\cos x}=3\operatorname{sec} x
sejam contínuas num intervalo contendo x=0. Como \tan x e \operatorname{sec} x só deixam de ser contínuas quando \cos x=0, o maior intervalo aberto em torno de 0 onde tudo funciona é
\Bigl(-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\Bigr).

Passo 3

Colocando a ODE em forma padrão, dividimos tudo por \cos x:
y' + \tan x\,y = 3\operatorname{sec} x.
O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int \tan x\,dx\Bigr) = \exp\bigl(-\ln\lvert\cos x\rvert\bigr) = \frac{1}{\cos x} = \operatorname{sec} x.

Passo 4

Multiplicando a ODE padrão por \mu(x)=\operatorname{sec} x obtemos
\operatorname{sec} x\,y' + \operatorname{sec} x\tan x\,y = 3\operatorname{sec}^2 x,
e o lado esquerdo é exatamente a derivada
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x\,y\bigr) =3\operatorname{sec}^2 x.
Integrando ambos os lados em relação a x:
\operatorname{sec} x\,y = 3\int \operatorname{sec}^2 x\,dx = 3\tan x + C.

Passo 5

Isolando y e impondo y(0)=1:
y = \bigl(3\tan x + C\bigr)\cos x = 3\sin x + C\cos x,
e em x=0 temos y(0)=3\cdot0 + C\cdot1 = C = 1. Logo
y(x) = 3\sin x + \cos x.

Resposta

(a) O intervalo de existência e unicidade é \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\bigr).
(b) A solução do PVI é y=3\sin x + \cos x.

Exercícios relacionados