Dado o problema de valor inicial
(a) Determine um intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).
(b) Obtenha a sua solução do PVI. R:
(b) Obtenha a sua solução do PVI. R:
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
Esse é um caso de equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos precisar (i) aplicar o Teorema de Existência e Unicidade para ODEs lineares e (ii) usar o método do fator integrante para encontrar a solução explícita.
Passo 2
Para existência e unicidade, precisamos que as funções
sejam contínuas num intervalo contendo
. Como
e
só deixam de ser contínuas quando
, o maior intervalo aberto em torno de
onde tudo funciona é
Passo 3
Colocando a ODE em forma padrão, dividimos tudo por
:
O fator integrante é
Passo 4
Multiplicando a ODE padrão por
obtemos
e o lado esquerdo é exatamente a derivada
Integrando ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Isolando
e impondo
:
e em
temos
. Logo
Resposta
(a) O intervalo de existência e unicidade é
.
(b) A solução do PVI é .
(b) A solução do PVI é