Dada a equação diferencial a seguir, determine a expressão de sua solução temporal y(t) por meio da transformada de Laplace para uma entrada x(t) tipo degrau unitário e condições iniciais nulas.
d^2 y(t)d t^2+9 d y(t)d t+14 y(t)=2 x(t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
d^2y(t)dt^2 + 9,dy(t)dt + 14,y(t) ;=; 2,x(t)
para uma entrada x(t) degrau unitário ( x(t)=u(t)) e condições iniciais nulas.
Conteúdo: transformada de Laplace em sistemas lineares LTI de segunda ordem com forçamento por degrau.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace (condições iniciais nulas):
Lddot y = s^2Y(s), Ldot y = s,Y(s), Ly = Y(s), Lu(t) = 1s
Então
s^2Y(s) + 9,s,Y(s) + 14,Y(s) ;=; 2,1s

Passo 3

Fatorando Y(s) e o polinômio quadrático:
l(s^2+9s+14r)Y(s) = 2s, s^2+9s+14 = (s+2)(s+7),
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Y(s) = 2s,(s+2),(s+7)
Fazemos frações parciais:
2s(s+2)(s+7) = As + Bs+2 + Cs+7
Multiplicando por s(s+2)(s+7) e avaliando pelos pontos simples:
A = 2(s+2)(s+7)|s=0 = 22cdot7 = 17,
B = 2s(s+7)|s=-2 = 2(-2)cdot5 = -15,
C = 2s(s+2)|s=-7 = 2(-7)cdot(-5) = 235
Portanto
Y(s) = 17,1s - 15,1s+2 + 235,1s+7

Passo 4

Aplicando a transformada inversa em cada termo:
L^-1ltfrac1sr = 1, L^-1ltfrac1s+ar = e^-a t
Então para t>=0:
y(t) = 17cdot1 - 15,e^-2t + 235,e^-7t

Resposta

y(t) = 17 ;-;15,e^-2t;+;235,e^-7t, t>=0

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