Dada a equação diferencial a seguir, determine a expressão de sua solução temporal y(t) por meio da transformada de Laplace para uma entrada x(t) tipo degrau unitário, com y(0)=1 e doty(0)=0.
2 d^2 y(t)d t^2+20 d y(t)d t+32 y(t)=2 x(t)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2,d^2y(t)dt^2 + 20,dy(t)dt + 32,y(t) = 2,x(t)
com x(t) degrau unitário, y(0)=1 e dot y(0)=0.
Conteúdo: transformada de Laplace, manipulação algébrica e frações parciais, seguida de transformada inversa.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace e usando
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - dot y(0), Ly' = s,Y(s) - y(0), Lu(t) = 1s,
obtemos
2l[s^2Y(s)-scdot1-0r] +20l[s,Y(s)-1r] +32,Y(s) =2s

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) e isolando:
(2s^2+20s+32),Y(s)-2s-20=2s,
(2s^2+20s+32),Y(s) =2s+2s+20,
fatorando 2 em numerador e denominador:
Y(s) =2s+2s+202,(s^2+10s+16) = 1/s + s +10s^2+10s+16 =s^2+10s+1s,(s+2),(s+8)

Passo 4

Fazendo frações parciais
s^2+10s+1s,(s+2),(s+8) =As+Bs+2+Cs+8,
temos o sistema
A+B+C=1, 10A+8B+2C=10, 16A=1
que dá
A=116, B=54, C=-516

Passo 5

Invertendo a transformada termo a termo:
L^-1lAsr(t)=A, L^-1lBs+2r(t)=B,e^-2t, L^-1lCs+8r(t)=C,e^-8t,
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y(t) =116 +54,e^-2t -516,e^-8t

Resposta

boxed y(t) =116 +54,e^-2t -516,e^-8t

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