Dada a equação diferencial de segunda ordem:
Encontre a solução geral da equação diferencial e resolva o problema de valor inicial com as condições
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
e depois aplicar as condições iniciais
e
. O conteúdo é EDO linear de coeficientes constantes; vamos precisar da solução geral da homogênea e de uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos a equação característica
. As raízes são
, de modo que a solução homogênea é
.
Passo 3
Para a parte particular associada ao termo polinomial
, suponha
. Como
, ao substituir em
temos
Igualando coeficientes:
e
. Logo
.
Passo 4
Para a parte particular associada a
, fazemos a suposição deslocada devido à ressonância com as funções da homogênea:
Calculando
e igualando a
chega-se a
. Assim
e
, de onde
.
Passo 5
A solução geral é a soma
Derivando, obtemos
Aplicando as condições iniciais em
:
- De :
implica
.
- De :
implica
.
- De
- De