Dada a equação diferencial de segunda ordem:
y^prime prime+y=4 x+10 sin (x)
Encontre a solução geral da equação diferencial e resolva o problema de valor inicial com as condições y(pi)=0 e y^prime(pi)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem y''+y=4x+10sin(x) e depois aplicar as condições iniciais y(pi)=0 e y'(pi)=2. O conteúdo é EDO linear de coeficientes constantes; vamos precisar da solução geral da homogênea e de uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos a equação característica r^2+1=0. As raízes são r=pm i, de modo que a solução homogênea é yh(x)=Acos(x)+Bsin(x).

Passo 3

Para a parte particular associada ao termo polinomial 4x, suponha yp1(x)=ax+b. Como yp1''=0, ao substituir em y''+y temos 0+(ax+b)=4xIgualando coeficientes: a=4 e b=0. Logo yp1(x)=4x.

Passo 4

Para a parte particular associada a 10sin(x), fazemos a suposição deslocada devido à ressonância com as funções da homogênea: yp2(x)=xl(Ccos(x)+Dsin(x)r)Calculando yp2''+yp2 e igualando a 10sin(x) chega-se a -2Csin(x)+2Dcos(x)=10sin(x). Assim C=-5 e D=0, de onde yp2(x)=-5xcos(x).

Passo 5

A solução geral é a soma y(x)=Acos(x)+Bsin(x)+4x-5xcos(x)Derivando, obtemos y'(x)=-Asin(x)+(B-5)cos(x)+5xsin(x)+4Aplicando as condições iniciais em x=pi:
- De y(pi)=0: -A+9pi=0 implica A=9pi.
- De y'(pi)=2: 9-B=2 implica B=7.

Resposta

y(x)=9picos(x)+7sin(x)+4x-5xcos(x)

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