Exercício 5 Sejam f: R R e g: R R funções.
Se cos (x+1) <= f(x) <= x^2+2 x+2, para todo x in R, calcule lim x 0 f(x-1).

Passo 1

Temos que f e g são funções de ℝ em ℝ, e a desigualdade dada é cos(x+1) <= f(x) <= x^2 + 2x + 2. O que a questão pede é calcular limxto0 f(x-1). O conteúdo principal aqui é limite de funções usando o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto).

Passo 2

Para usar o Teorema do Confronto em f(x-1), substituímos x por x-1 na desigualdade inicial. Assim, obtemos:
cosl((x-1)+1r) <= f(x-1) <= (x-1)^2 + 2(x-1) + 2
Simplificando cada parte:
cos(x) <= f(x-1) <= x^2 + 1

Passo 3

Agora calculamos os limites das funções que “apertam” f(x-1) quando xto0. Primeiro,
limxto0cos(x) = cos(0) = 1
e, usando continuidade de polinômios,
limxto0 l(x^2 + 1r) = 0^2 + 1 = 1

Passo 4

Como ambas as funções que limitam f(x-1) tendem a 1 quando xto0, pelo Teorema do Confronto temos
limxto0 f(x-1) = 1

Resposta

1

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