(3,0) Dada a equaçāo \frac{d x}{d t}=\frac{t^{2}}{\operatorname{sen} x}, 0<x<\pi, determine:
(a) as soluções constantes, se tiver ✓
(b) as soluções não constantes
(c) a solução que satisfaz x(0)=\pi / 2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dx}{dt}=\frac{t^{2}}{\operatorname{sen} x},\quad 0<x<\pi,
e pede três coisas:
(a) quais são as soluções constantes (se existirem);
(b) as soluções não constantes (forma geral);
(c) a solução que satisfaz a condição inicial x(0)=\pi/2.
Informações relevantes do enunciado:
\text{equação: }\frac{dx}{dt}=\frac{t^{2}}{\operatorname{sen} x},çã
domínio para x: 0<x<\pi (isso implica \operatorname{sen} x>0 e \operatorname{sen} x\neq0 nesse intervalo), e há uma condição inicial para a parte (c).

Passo 2

Procurando soluções constantes. Se x(t) é constante então x(t)\equiv C para alguma constante C e, portanto, \frac{dx}{dt}=0 para todo t. Substituindo na equação, exigimos
0=\frac{t^{2}}{\operatorname{sen} C}\quad\text{para todo }t.
Para que essa igualdade valha para todo t precisamos que o numerador seja zero para todo t ou que a expressão não esteja bem definida. O numerador é t^{2}, que não é zero para todos os t (é zero só em t=0). Além disso, no intervalo dado para x temos \operatorname{sen} C>0, então a razão \frac{t^{2}}{\operatorname{sen} C} não pode ser identicamente zero. Conclusão: não existem constantes C em (0,\pi) que satisfaçam a ODE para todo t. Logo, não há soluções constantes no domínio 0<x<\pi.

Passo 3

Agora vamos achar soluções não constantes. A equação é separável: podemos reorganizar as variáveis x e t em lados diferentes. Multiplicando ambos os lados por \operatorname{sen} x e por dt obtemos
\operatorname{sen} x\,dx = t^{2}\,dt.
A técnica de equações separáveis diz: integrar ambos os lados em relação às suas variáveis dá uma relação implícita entre x e t.

Passo 4

Calcule as integrais. Primeiro, uma observação sobre a integral de \operatorname{sen} x: sabemos que \frac{d}{dx}(\cos x)=-\operatorname{sen} x, então uma primitiva de \operatorname{sen} x é -\cos x. Para o lado direito, uma primitiva de t^{2} é \tfrac{t^{3}}{3}. Integrando:
\int \operatorname{sen} x\,dx = \int t^{2}\,dt
-\cos x = \frac{t^{3}}{3} + C,
onde C é a constante de integração. Esta é a forma implícita geral da solução.

Passo 5

Reescrevendo a solução implícita de modo mais conveniente, defina A=-C. Então
\cos x = A - \frac{t^{3}}{3}.
Aqui A é uma constante arbitrária determinada pela condição inicial. Como x\in(0,\pi), temos \cos x\in(-1,1). Portanto, a função do lado direito deve satisfazer
-1 < A - \frac{t^{3}}{3} < 1
no intervalo de t em que a solução é válida. Em particular, quando A-\tfrac{t^{3}}{3} atinge \pm 1 a solução chega a \cos x=\pm1, ou seja x=0 ou x=\pi, pontos onde \operatorname{sen} x=0 e a ODE fica indefinida — isso marca a fronteira do intervalo maximal de existência da solução.

Passo 6

Podemos escrever a solução de forma explícita (inversão da função cosseno). Usando a função arco-cosseno:
x(t)=\operatorname{arccos}\!\left(A-\frac{t^{3}}{3}\right).
Observações didáticas:
  • A função \operatorname{arccos} tem imagem [0,\pi]; como queremos x\in(0,\pi) escolhemos a ramo principal da \operatorname{arccos}. Se a expressão interna estiver estritamente entre -1 e 1 então x(t)\in(0,\pi).
  • A constante A é determinada por uma condição inicial x(t_{0})=x_{0} através da relação \cos x_{0}=A-\tfrac{t_{0}^{3}}{3}, isto é
A=\cos x_{0}+\frac{t_{0}^{3}}{3}.
  • A solução é única localmente onde \operatorname{sen} x\neq0 porque a função do lado direito \frac{t^{2}}{\operatorname{sen} x} é contínua e Lipschitz em x localmente quando \operatorname{sen} x\neq0. Portanto, para cada condição inicial com x_{0}\in(0,\pi) existe uma única solução passando por esse ponto, até o instante em que |A-\tfrac{t^{3}}{3}|=1.

Passo 7

Verificação rápida de consistência: derivando a solução implícita \cos x = A - \tfrac{t^{3}}{3} em relação a t usando derivada implícita,
-\operatorname{sen} x\cdot\frac{dx}{dt} = -t^{2},
portanto
\frac{dx}{dt}=\frac{t^{2}}{\operatorname{sen} x},
o que confirma que a família \cos x = A - \tfrac{t^{3}}{3} realmente resolve a ODE onde \operatorname{sen} x\neq0.

Passo 8

Agora resolvemos a parte (c): condição inicial x(0)=\pi/2. Use a forma \cos x = A - \tfrac{t^{3}}{3}. Avaliando em t=0 e x=\pi/2,
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 = A - 0,
logo A=0. Assim a solução implicita é
\cos x = -\frac{t^{3}}{3},
e explicitamente
x(t)=\operatorname{arccos}\!\left(-\frac{t^{3}}{3}\right).
Domínio de validade: precisamos de \left|-\tfrac{t^{3}}{3}\right|<1, isto é |t|^{3}<3, então
|t|<\sqrt[3]{3}.
Portanto a solução com x(0)=\pi/2 existe e é dada por x(t)=\operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{t^{3}}{3}\bigr) para t em (-\sqrt[3]{3},\sqrt[3]{3}). Nos pontos t=\pm\sqrt[3]{3} a solução atinge x=0 ou x=\pi e a ODE deixa de ser definida.

Resposta

(a) Não existem soluções constantes em (0,\pi).
(b) Famílias de soluções não constantes (implícita):
\cos x = A - \frac{t^{3}}{3},
ou explicitamente
x(t)=\operatorname{arccos}\!\left(A-\frac{t^{3}}{3}\right),
onde A é constante tal que -1< A-\tfrac{t^{3}}{3}<1 no intervalo de validade (ou seja, até que a expressão atinja \pm1).
(c) Para x(0)=\pi/2:
x(t)=\operatorname{arccos}\!\left(-\frac{t^{3}}{3}\right),\quad |t|<\sqrt[3]{3}.

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