Considere a EDO y^{\prime \prime}(x)=y^{\prime}(x)-y(x)+e^{x}+\sin (x) e as informações y(0)=2 e y(1)=3,25. Usando h=0,25, estime a imagem de 0,6 usando o método adequado da Lista 1 que possui menor erro.
Lista 1:
Opção A: Diferenças Finitas avançada e de segunda ordem
Opção B: Diferenças Finitas centrada e de segunda ordem
Opção C: Método de Série de Taylor de ordem 1
Opção D: Método de Euler
Opção E: Método Runge-Kutta de ordem 1
Opção F: Método Runge-Kutta de ordem 2 com a_{1}=1 / 4
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial de segunda ordem e condições em duas extremidades, pede uma estimativa em x=0{,}6 com passo h=0{,}25. Dados e pedido organizados:
Estimar y(0{,}6) usando o método adequado da Lista 1 que tem menor erro.
Observações do enunciado que usarei: a equação, as duas condições de contorno em x=0 e x=1, o passo h=0{,}25 e o ponto onde estimar x=0{,}6. A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Escolha do método (justificando que é o “adequado” com menor erro da lista).
Analisando as opções:
As opções C, D, E são métodos de ordem 1 (pior erro global).
A e B (diferenças finitas) e F (Runge‑Kutta de ordem 2) são de ordem 2.
Porém temos um problema com condições em duas extremidades (um problema de contorno): métodos do tipo Runge‑Kutta (F) são métodos naturais para problemas de valor inicial, e para usar RK aqui seria necessário aplicar um método de tiro (shooting), que adiciona etapa extra e possível perda de precisão/complexidade. Já as diferenças finitas centrais são projetadas para problemas de contorno e entregam erro global de ordem \mathcal{O}(h^2) diretamente, sem necessidade de tiro.
Entre A e B:
A é diferença avançada (forward) de segunda ordem — menos simétrica que a centrada;
B é diferença centrada de segunda ordem — geralmente mais precisa (e simétrica) para aproximar derivadas internas.
Portanto o método mais adequado e com menor erro da lista para este BVP é a Opção B: Diferenças Finitas centrada de segunda ordem. Vou aplicar esse método.
Passo 3
Montagem da discretização por diferenças centradas (explicando as fórmulas).
Queremos aproximar y''(x_i) e y'(x_i) por fórmulas centradas de segunda ordem:
Aproximação da segunda derivada em x_i:
y''(x_i)\approx \frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}.
Isto vem da diferença central clássica: é derivada de Taylor truncada com erro \mathcal{O}(h^2).
Aproximação da primeira derivada em x_i:
y'(x_i)\approx \frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h}.
Também é uma diferença central com erro \mathcal{O}(h^2).
Substituindo na EDO (y''-y'+y = e^x+\sin x) obtemos para cada nó interno x_i (i=1,2,3) a equação:
Resolução do sistema linear (eliminação / método de Thomas para tridiagonal). Vou resolver de forma direta (eliminação Gaussiana adequada a tridiagonal).
Substituo y_1 na equação 2 para eliminar y_1. Fazendo as contas (detalhes aritméticos omitidos por brevidade do passo, mas mantive precisão):
A equação 2 reduz-se a
(Expliquei a eliminação; as contas foram feitas mantendo precisão numérica apropriada.)
Passo 8
Estimativa de y(0{,}6) a partir dos valores da malha.
O ponto x=0{,}6 não é nó da malha (os nós mais próximos são x_2=0{,}5 e x_3=0{,}75). Para obter uma estimativa mais precisa do que a interpolação linear simples, uso interpolação quadrática passando pelos três pontos (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3). A interpolação quadrática com nós igualmente espaçados (passo h=0{,}25) é simples com Lagrange:
Os polinômios de base avaliados em x=0{,}6 (com x_1=0{,}25,x_2=0{,}5,x_3=0{,}75) são:
(Se usássemos interpolação linear entre x_2 e x_3 obteríamos cerca de 2{,}64944; a interpolação quadrática é mais coerente com o método de segunda ordem usado e tende a ser mais precisa.)