Dé um exemplo de uma equaçāo diferencial que nāo seja separável. Justifique
Passo 1
O enunciado pede: “Dê um exemplo de uma equação diferencial que não seja separável. Justifique.”
Informações relevantes: precisamos apresentar uma equação diferencial qualquer e mostrar, de forma convincente, que ela NÃO pode ser escrita na forma separável. Não há outras restrições.
Informações relevantes: precisamos apresentar uma equação diferencial qualquer e mostrar, de forma convincente, que ela NÃO pode ser escrita na forma separável. Não há outras restrições.
Passo 2
O que significa “separável”? Uma equação diferencial de primeira ordem é separável quando pode ser escrita como
onde
depende somente de
e
depende somente de
. Se isso for possível, fazemos a “separação de variáveis” escrevendo
e então integramos ambos os lados para obter a solução implícita. Aqui é importante entender que, para ser separável, a expressão do lado direito da equação deve fatorar exatamente em um produto de uma função só de
por uma função só de
.
Passo 3
Vou escolher um exemplo simples e muito comum:
Essa equação é fácil de escrever e serve bem para mostrar por que NÃO é separável.
Passo 4
Tentativa direta de separar: para separar eu precisaria reescrever
como um produto
para alguma função
que dependa só de
e alguma
que dependa só de
. Ou seja, precisaríamos ter, para todos
e
na região considerada,
Passo 5
Prova por contradição (didática): suponha que existam
e
tais que
para todos
. Trate essa igualdade como identidade de duas variáveis
e
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(mantendo
como variável independente nessa identidade) obtemos
Essa igualdade diz que
. O lado esquerdo depende apenas de
e o lado direito depende apenas de
; a única forma de uma função depender simultaneamente apenas de
e apenas de
é que ambas sejam constantes. Logo
precisa ser constante:
com
. Então
e assim
para alguma constante
. Então
Para que isso seja igual a
para todos
teríamos
para todo
, o que é impossível. Contradição. Portanto não existem
e
que façam
.
Passo 6
Conclusão didática: a equação
NÃO é separável porque seu termo de direita não pode ser escrito como produto de uma função que dependa apenas de
por outra que dependa apenas de
. Uma maneira prática de ver isso sem formalidade é: ao tentar dividir por uma função de
para deixar todos os
de um lado, sobra ainda dependência em
no lado que deveria depender só de
; ou, em termos de identidade de funções,
não fatora como
.