(1,0) Dé um exemplo de uma equaçāo diferencial que nāo seja separável. Justifique

Passo 1

O enunciado pede: “Dê um exemplo de uma equação diferencial que não seja separável. Justifique.”
Informações relevantes: precisamos apresentar uma equação diferencial qualquer e mostrar, de forma convincente, que ela NÃO pode ser escrita na forma separável. Não há outras restrições.

Passo 2

O que significa “separável”? Uma equação diferencial de primeira ordem é separável quando pode ser escrita como
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)
onde g(x) depende somente de x e h(y) depende somente de y. Se isso for possível, fazemos a “separação de variáveis” escrevendo
\frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx
e então integramos ambos os lados para obter a solução implícita. Aqui é importante entender que, para ser separável, a expressão do lado direito da equação deve fatorar exatamente em um produto de uma função só de x por uma função só de y.

Passo 3

Vou escolher um exemplo simples e muito comum:
\frac{dy}{dx}=x+y.
Essa equação é fácil de escrever e serve bem para mostrar por que NÃO é separável.

Passo 4

Tentativa direta de separar: para separar eu precisaria reescrever x+y como um produto A(x)\,B(y) para alguma função A que dependa só de x e alguma B que dependa só de y. Ou seja, precisaríamos ter, para todos x e y na região considerada,
x+y = A(x)\,B(y).

Passo 5

Prova por contradição (didática): suponha que existam A(x) e B(y) tais que x+y=A(x)B(y) para todos x,y. Trate essa igualdade como identidade de duas variáveis x e y. Diferenciando ambos os lados em relação a x (mantendo y como variável independente nessa identidade) obtemos
1 = A'(x)\,B(y).
Essa igualdade diz que B(y)=1/A'(x). O lado esquerdo depende apenas de y e o lado direito depende apenas de x; a única forma de uma função depender simultaneamente apenas de x e apenas de y é que ambas sejam constantes. Logo B(y) precisa ser constante: B(y)=C com C\neq 0. Então A'(x)=1/C e assim A(x)=\frac{1}{C}x + D para alguma constante D. Então
A(x)B(y)=\left(\frac{1}{C}x + D\right)C = x + DC.
Para que isso seja igual a x+y para todos x,y teríamos DC=y para todo y, o que é impossível. Contradição. Portanto não existem A(x) e B(y) que façam x+y=A(x)B(y).

Passo 6

Conclusão didática: a equação \frac{dy}{dx}=x+y NÃO é separável porque seu termo de direita não pode ser escrito como produto de uma função que dependa apenas de x por outra que dependa apenas de y. Uma maneira prática de ver isso sem formalidade é: ao tentar dividir por uma função de y para deixar todos os y de um lado, sobra ainda dependência em x no lado que deveria depender só de y; ou, em termos de identidade de funções, x+y não fatora como g(x)h(y).

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=x+y

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