Dada a equação \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=-1, ache \alpha para que ( \alpha, \alpha+1 ) torne a sentença verdadeira.
Resp: -8 / 5

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=-1
e pede para achar \alpha tal que o ponto (\alpha,\alpha+1) satisfaça essa equação.
Informações relevantes:
  • A equação é \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=-1.
  • O ponto a testar tem coordenadas x=\alpha e y=\alpha+1.
  • Precisamos encontrar o valor de \alpha que torna a igualdade verdadeira.

Passo 2

Substituímos x=\alpha e y=\alpha+1 na equação, obtendo uma equação apenas em \alpha:
\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha+1}{3}=-1.

Passo 3

Agora vamos somar as frações do lado esquerdo. Para somar frações usamos um denominador comum; o mínimo múltiplo de 2 e 3 é 6. Reescrevo cada fração com denominador 6:
\frac{\alpha}{2}=\frac{3\alpha}{6},\qquad \frac{\alpha+1}{3}=\frac{2(\alpha+1)}{6}.
Somando-as:
\frac{3\alpha}{6}+\frac{2(\alpha+1)}{6}=\frac{3\alpha+2(\alpha+1)}{6}.
Desenvolvendo o numerador:
3\alpha+2(\alpha+1)=3\alpha+2\alpha+2=5\alpha+2.
Logo a equação fica
\frac{5\alpha+2}{6}=-1.

Passo 4

Para eliminar a fração, multiplicamos os dois lados da equação por 6 (isso é permitido porque multiplicar ambos os lados por um mesmo número não altera a igualdade):
5\alpha+2=-6.
Subtraindo 2 dos dois lados:
5\alpha=-8.
Dividindo ambos os lados por 5:
\alpha=-\frac{8}{5}.

Passo 5

Vamos checar rapidamente substituindo \alpha=-\frac{8}{5} na equação original. Calculamos o lado esquerdo:
\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha+1}{3}=\frac{-\tfrac{8}{5}}{2}+\frac{-\tfrac{8}{5}+1}{3}.
Simplificando cada termo:
\frac{-\tfrac{8}{5}}{2}=-\frac{8}{5}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{8}{10}=-\frac{4}{5},
-\tfrac{8}{5}+1=-\tfrac{8}{5}+\tfrac{5}{5}=-\tfrac{3}{5},\qquad \frac{-\tfrac{3}{5}}{3}=-\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{3}=-\frac{1}{5}.
Somando:
-\frac{4}{5}-\frac{1}{5}=-1,
o que confirma que a solução está correta. Boa! Conseguiu checar certinho.

Resposta

-\dfrac{8}{5}

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