Uma vareta de aço é forçada a transmitir ondas longitudinais em virtude de um oscilador que está acoplado a uma de suas extremidades. A vareta tem um diâmetro de 4 mm . A amplitude de oscilação é de 0,1 mm e a frequência é de 10 oscilações por segundo. Determine (a) a equação das ondas ao longo da vareta, (b) a energia por unidade de volume da vareta, © o fluxo médio de energia por unidade de tempo através de qualquer seção da vareta, e (d) a potência necessária para tocar o oscilador.

Passo 1

Opa! Então o problema é sobre uma vareta de aço onde um oscilador gera ondas longitudinais.
Conteúdo: ondas mecânicas em barras elásticas.
O que precisamos:
  1. Velocidade da onda na vareta: .
  2. Equação de deslocamento .
  3. Energia por volume (densidade de energia média) de uma onda harmônica.
  4. Fluxo médio de energia (power flux).
  5. Potência total, usando a área da seção transversal.
Dados que vamos usar (tipicamente para aço):
  • Módulo de Young:
  • Densidade:
  • Diâmetro da vareta:
  • Amplitude:
  • Frequência:
A partir do próximo passo a gente resolve de fato.

Passo 2

Calcular c = raizErho = raiz2,0times10^117,8times10^3 approx 5,06times10^3;m/s , omega = 2pi f = 2picdot10 approx 62,8;rad/s e k = omegac approx 62,85,06times10^3 approx 1,24times10^-2;m^-1 , e escrever a equação de onda.
  1. Velocidade:
xi(x,t) = xi0 ,cosl(omega t - kxr) = 1,0times10^-4cosl(62,8,t - 1,24times10^-2,xr)
  1. Pulsação:
  1. Número de onda:
  1. Transformar amplitude pra metro:
  2. A equação de onda longitudinal (escolhendo fase de coseno) fica:

Passo 3

Densidade de energia média por volume (energia cinética + energia potencial elástica).
Em geral, para onda harmônica:
lang<= u rang<= = 12,rho,omega^2,xi0^2
Substituindo:
lang<= u rang<= = 12cdot7,8times10^3cdot(62,8)^2cdot(1,0times10^-4)^2 approx 0,154;J/m^3

Passo 4

Fluxo médio de energia por unidade de tempo através de uma seção (potência por área), também chamado intensity I = lang<= u rang<= ,c = 0,154;J/m^3times5,06times10^3;m/s approx 780;W/m^2 :

Passo 5

Potência necessária (fluxo total) atravessando a seção da vareta de área
A = pi d^24 = pi (4times10^-3)^24 approx 1,26times10^-5;m^2
Então a potência é
P = I,A approx 780;W/m^2times1,26times10^-5;m^2 approx 9,8times10^-3;W

Resposta

(a) m
(b)
©
(d)

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