Dada a equação
onde
e
são constantes e as condições de fronteira
onde
e
são constantes, mostrar, por meio da substituição
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente tem uma equação diferencial parcial que relaciona as derivadas de
em relação a
e
. As condições de fronteira nos dizem como
se comporta em certos pontos e tempos. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais parciais, e para resolver isso, vamos precisar fazer uma substituição inteligente usando a expressão
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida na equação original. Isso significa que onde vemos
, vamos colocar
. Então, temos:
Passo 3
Vamos simplificar isso passo a passo. Primeiro, a segunda derivada de
em relação a
é zero, porque
é uma constante. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas. A derivada de
em relação ao tempo é zero. Para a derivada de
em relação ao tempo, usamos a regra do produto:
Substituindo de volta:
Passo 5
Perceba que os termos
e
se cancelam. Então, a equação fica:
Passo 6
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Resposta
Após a substituição e simplificação, a equação original se transforma na equação: