h(x) = { x, x ≥ 3; x²/3, x < 3 }
não é diferenciável em x0 = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de fórmula quando é maior ou igual a 3 e quando é menor que 3. O exercício quer saber por que essa função não é diferenciável em . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e como calcular as derivadas laterais nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é diferenciável em um ponto se ela tem uma derivada nesse ponto. Isso significa que a função precisa ser “suave” ali, sem cantos ou saltos. Para verificar se é diferenciável em , vamos calcular a derivada pela esquerda ( se aproximando de 3 por valores menores) e pela direita ( se aproximando de 3 por valores maiores).

Passo 3

Vamos calcular a derivada pela direita. Quando , a função é . A derivada de em relação a é simplesmente 1. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada pela esquerda. Quando , a função é . A derivada de em relação a é . Avaliando em :

Passo 5

Agora, comparamos as derivadas laterais:
Como , as derivadas pela direita e pela esquerda não são iguais.

Resposta

Portanto, a função não é diferenciável em porque as derivadas laterais são diferentes.

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