Dada a equação
x^{2} y^{\prime \prime}(x)+5 x y^{\prime}(x)+4 y(x)=0,
encontre a solução geral num intervalo que não contenha o ponto singular de tal EDO.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''(x)+5x y'(x)+4y(x)=0
e pede a solução geral em um intervalo que não contenha o ponto singular da EDO.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é de segunda ordem linear com coeficientes que dependem de x.
  • O ponto x=0 é potencialmente singular (porque os coeficientes têm potências de x no denominador se colocarmos na forma padrão).
    O que se pede:
  • Encontrar a solução geral y(x) em um intervalo que não contenha x=0 (por exemplo x>0 ou x<0).

Passo 2

Vamos tentar a técnica padrão para equações do tipo equidimensional (Euler–Cauchy): testar uma solução da forma
y(x)=x^{m},
onde m é uma constante a determinar. Explico por que: em uma equação em que os coeficientes são potências de x compatíveis com as ordens das derivadas, substituir x^{m} transforma a EDO em uma equação algébrica para m. Agora calcule as derivadas de y:
y'(x)=m x^{m-1},\qquad y''(x)=m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo essas expressões na EDO:
x^{2}\bigl(m(m-1)x^{m-2}\bigr)+5x\bigl(m x^{m-1}\bigr)+4\bigl(x^{m}\bigr)=0.
Reorganizando (todos os termos têm fator x^{m}, que é não nulo para x\neq0):
m(m-1)x^{m}+5m x^{m}+4x^{m}=0.
Dividindo por x^{m} (válido para x\neq0):
m(m-1)+5m+4=0.

Passo 3

Simplifico a equação algébrica para m:
m(m-1)+5m+4 = m^{2}-m+5m+4 = m^{2}+4m+4 =0.
Note que m^{2}+4m+4=(m+2)^{2}. Portanto a equação característica tem raiz dupla
m=-2\quad\text{(multiplicidade 2)}.

Passo 4

Quando a equação característica de uma equação de Euler–Cauchy tem duas raízes reais distintas m_{1} e m_{2}, a solução geral é
y(x)=C_{1}x^{m_{1}}+C_{2}x^{m_{2}}.
No caso de raiz dupla m=m_{0} (aqui m_{0}=-2), a segunda solução independente tem fator de logaritmo: a forma geral é
y(x)=C_{1}x^{m_{0}}+C_{2}x^{m_{0}}\ln\!\lvert x\rvert.
Vou mostrar por que aparece o \ln usando o método de redução de ordem (assim fica claro como obter a segunda solução).

Passo 5

Primeira solução obtida pela raiz é
y_{1}(x)=x^{-2}.
Para encontrar uma segunda solução independente y_{2} usa-se redução de ordem: escrita da EDO na forma padrão (dividindo por x^{2}):
y''(x)+\frac{5}{x}y'(x)+\frac{4}{x^{2}}y(x)=0.
Aqui P(x)=\dfrac{5}{x}. A fórmula prática de redução de ordem dá uma segunda solução como
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx.
Calcule passo a passo:
\int P(x)\,dx=\int \frac{5}{x}\,dx=5\ln\!\lvert x\rvert, \qquad e^{-\int P(x)\,dx}=e^{-5\ln\!\lvert x\rvert}=\lvert x\rvert^{-5}.
Também y_{1}(x)^{2}=x^{-4}. Então o integrando é
\frac{e^{-\int P}}{y_{1}^{2}}=\frac{\lvert x\rvert^{-5}}{x^{-4}}=x^{-1}.
Portanto
\int \frac{e^{-\int P}}{y_{1}^{2}}\,dx=\int x^{-1}\,dx=\ln\!\lvert x\rvert + \text{const}.
Tomando a constante dentro da combinação linear, escolhemos a primitiva \ln\!\lvert x\rvert. Logo
y_{2}(x)=y_{1}(x)\ln\!\lvert x\rvert = x^{-2}\ln\!\lvert x\rvert.
Assim y_{1} e y_{2} são independentes e formam uma base de soluções.

Passo 6

Concluímos que a solução geral da EDO em qualquer intervalo que não contenha x=0 (por exemplo x>0 ou x<0) é
y(x)=C_{1}x^{-2}+C_{2}x^{-2}\ln\!\lvert x\rvert,
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias. O ponto x=0 é ponto singular regular, por isso a solução acima é válida apenas em intervalos que excluem 0.

Resposta

y(x)=C_{1}x^{-2}+C_{2}x^{-2}\ln\!\lvert x\rvert

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