Dada a equação
encontre a solução geral num intervalo que não contenha o ponto singular de tal EDO.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral em um intervalo que não contenha o ponto singular da EDO.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é de segunda ordem linear com coeficientes que dependem de
. - O ponto
é potencialmente singular (porque os coeficientes têm potências de no denominador se colocarmos na forma padrão).
O que se pede: - Encontrar a solução geral
em um intervalo que não contenha (por exemplo ou ).
Passo 2
Vamos tentar a técnica padrão para equações do tipo equidimensional (Euler–Cauchy): testar uma solução da forma
onde
é uma constante a determinar. Explico por que: em uma equação em que os coeficientes são potências de
compatíveis com as ordens das derivadas, substituir
transforma a EDO em uma equação algébrica para
. Agora calcule as derivadas de
:
Substituindo essas expressões na EDO:
Reorganizando (todos os termos têm fator
, que é não nulo para
):
Dividindo por
(válido para
):
Passo 3
Simplifico a equação algébrica para
:
Note que
. Portanto a equação característica tem raiz dupla
Passo 4
Quando a equação característica de uma equação de Euler–Cauchy tem duas raízes reais distintas
e
, a solução geral é
No caso de raiz dupla
(aqui
), a segunda solução independente tem fator de logaritmo: a forma geral é
Vou mostrar por que aparece o
usando o método de redução de ordem (assim fica claro como obter a segunda solução).
Passo 5
Primeira solução obtida pela raiz é
Para encontrar uma segunda solução independente
usa-se redução de ordem: escrita da EDO na forma padrão (dividindo por
):
Aqui
. A fórmula prática de redução de ordem dá uma segunda solução como
Calcule passo a passo:
Também
. Então o integrando é
Portanto
Tomando a constante dentro da combinação linear, escolhemos a primitiva
. Logo
Assim
e
são independentes e formam uma base de soluções.
Passo 6
Concluímos que a solução geral da EDO em qualquer intervalo que não contenha
(por exemplo
ou
) é
onde
e
são constantes reais arbitrárias. O ponto
é ponto singular regular, por isso a solução acima é válida apenas em intervalos que excluem
.