Suponha que as funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tenham os seguintes limites laterais:
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=3, \quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=1, \quad \lim _{x \rightarrow 0^{-}} g(x)=4 \text { e } \quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}} g(x)=6
a. Os limites \lim _{x \rightarrow 0} f(x) e \lim _{x \rightarrow 0} g(x) existem?
b. \mathrm{E} \lim _{x \rightarrow 0}(f(x)+g(x)) ?
c. É possível que alguma das funções f, g ou f+g seja contínua?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes limites laterais (valores que peguei do enunciado):
  • \lim_{x\to 0^-} f(x)=3
  • \lim_{x\to 0^+} f(x)=1
  • \lim_{x\to 0^-} g(x)=4
  • \lim_{x\to 0^+} g(x)=6
As perguntas são:
a. Os limites \lim_{x\to 0} f(x) e \lim_{x\to 0} g(x) existem?
b. Existe \lim_{x\to 0}(f(x)+g(x))? Se sim, qual é o valor?
c. É possível que alguma das funções f, g ou f+g seja contínua em 0?

Passo 2

Primeiro, lembrar a definição prática de existência de limite em um ponto: o limite \lim_{x\to 0} h(x) existe (finito) se, e somente se, os limites laterais existem e são iguais. Ou seja:
\lim_{x\to 0} h(x)\\ \text{existe} \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to 0^-} h(x)=\lim_{x\to 0^+} h(x).
Essa é a condição que vou usar para responder (a).

Passo 3

Aplicando a condição ao f:
  • \lim_{x\to 0^-} f(x)=3 e \lim_{x\to 0^+} f(x)=1.
    Como 3\neq 1, os limites laterais de f são diferentes. Portanto
\lim_{x\to 0} f(x)\\ \text{não existe}.ã

Passo 4

Aplicando a mesma condição ao g:
  • \lim_{x\to 0^-} g(x)=4 e \lim_{x\to 0^+} g(x)=6.
    Como 4\neq 6, os limites laterais de g são diferentes. Portanto
\lim_{x\to 0} g(x)\\ \text{não existe}.ã

Passo 5

Agora examino a soma f+g. Há uma propriedade simples de limites laterais que é útil e que vou usar (explico por quê): se \lim_{x\to 0^-} f(x) e \lim_{x\to 0^-} g(x) existem finitamente, então
\lim_{x\to 0^-} (f(x)+g(x))=\lim_{x\to 0^-} f(x) + \lim_{x\to 0^-} g(x).
O mesmo vale para os limites pela direita. Aqui ambos os limites laterais de f e de g são números finitos, logo posso somá-los lado a lado.

Passo 6

Calculo os limites laterais de f+g:
\lim_{x\to 0^-} (f(x)+g(x)) = 3 + 4 = 7,
\lim_{x\to 0^+} (f(x)+g(x)) = 1 + 6 = 7.
Observação: peguei os valores desses somandos dos limites laterais dados no enunciado.

Passo 7

Como os limites lateral pela esquerda e pela direita de f+g coincidem (ambos iguais a 7), pelo critério do Passo 2 o limite bilateral existe e vale 7. Ou seja,
\lim_{x\to 0} (f(x)+g(x)) = 7.

Passo 8

Agora sobre continuidade em 0: por definição, uma função h é contínua em 0 se (i) h(0) está definida, (ii) \lim_{x\to 0} h(x) existe e (iii) \lim_{x\to 0} h(x)=h(0).
  • Para f: já vimos que \lim_{x\to 0} f(x) não existe, portanto f não pode ser contínua em 0, independentemente do valor de f(0).
  • Para g: mesmo raciocínio, \lim_{x\to 0} g(x) não existe, logo g não pode ser contínua em 0.
  • Para f+g: como \lim_{x\to 0} (f+g)(x)=7, é possível que f+g seja contínua em 0 se e somente se (f+g)(0)=7. Ou seja, escolhendo os valores de f(0) e g(0) tais que f(0)+g(0)=7, a soma será contínua em 0 mesmo que f e g individualmente não sejam.

Passo 9

Dou um exemplo concreto para fixar a ideia (modelo construtivo, para ver que é possível): defina
f(x)=\begin{cases}3,& x<0,\\\ 1,& x>0,\end{cases}\qquad g(x)=\begin{cases}4,& x<0,\\\ 6,& x>0.\end{cases}
Escolha f(0)=3 e g(0)=4. Então \lim_{x\to 0^-} f(x)=3, \lim_{x\to 0^+} f(x)=1, \lim_{x\to 0^-} g(x)=4, \lim_{x\to 0^+} g(x)=6 (os mesmos do enunciado). Aqui f e g não são contínuas em 0 (os limites bilaterais não existem), mas (f+g)(x) tem limite 7 e (f+g)(0)=3+4=7, logo f+g é contínua em 0. Se em vez disso escolhesse f(0)+g(0)\neq 7, então f+g também não seria contínua.

Resposta

a. \lim_{x\to 0} f(x) não existe.
a. \lim_{x\to 0} g(x) não existe.
b. \displaystyle \lim_{x\to 0} (f(x)+g(x)) = 7.
c. f: não; g: não; f+g: sim, é possível (precisamente quando (f+g)(0)=7).

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