Suponha que as funções
e
tenham os seguintes limites laterais:
a. Os limites
e
existem?
b.
?
c. É possível que alguma das funções
ou
seja contínua?
b.
c. É possível que alguma das funções
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes limites laterais (valores que peguei do enunciado):
As perguntas são:
a. Os limites e
existem?
b. Existe ? Se sim, qual é o valor?
c. É possível que alguma das funções ,
ou
seja contínua em
?
a. Os limites
b. Existe
c. É possível que alguma das funções
Passo 2
Primeiro, lembrar a definição prática de existência de limite em um ponto: o limite
existe (finito) se, e somente se, os limites laterais existem e são iguais. Ou seja:
Essa é a condição que vou usar para responder (a).
Passo 3
Aplicando a condição ao
:
-
e .
Como, os limites laterais de são diferentes. Portanto
Passo 4
Aplicando a mesma condição ao
:
-
e .
Como, os limites laterais de são diferentes. Portanto
Passo 5
Agora examino a soma
. Há uma propriedade simples de limites laterais que é útil e que vou usar (explico por quê): se
e
existem finitamente, então
O mesmo vale para os limites pela direita. Aqui ambos os limites laterais de
e de
são números finitos, logo posso somá-los lado a lado.
Passo 6
Calculo os limites laterais de
:
Observação: peguei os valores desses somandos dos limites laterais dados no enunciado.
Passo 7
Como os limites lateral pela esquerda e pela direita de
coincidem (ambos iguais a
), pelo critério do Passo 2 o limite bilateral existe e vale
. Ou seja,
Passo 8
Agora sobre continuidade em
: por definição, uma função
é contínua em
se (i)
está definida, (ii)
existe e (iii)
.
- Para
: já vimos que não existe, portanto não pode ser contínua em , independentemente do valor de . - Para
: mesmo raciocínio, não existe, logo não pode ser contínua em . - Para
: como , é possível que seja contínua em se e somente se . Ou seja, escolhendo os valores de e tais que , a soma será contínua em mesmo que e individualmente não sejam.
Passo 9
Dou um exemplo concreto para fixar a ideia (modelo construtivo, para ver que é possível): defina
Escolha
e
. Então
,
,
,
(os mesmos do enunciado). Aqui
e
não são contínuas em
(os limites bilaterais não existem), mas
tem limite
e
, logo
é contínua em
. Se em vez disso escolhesse
, então
também não seria contínua.
Resposta
a.
não existe.
a. não existe.
b.
c. : não;
: não;
: sim, é possível (precisamente quando
).
a.
b.
c.