Considere duas funções f e g tais que f+g e f-g são contínuas em um ponto a. Mostre que f e g são também são contínuas em a.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
São dadas duas funções f e g.
Sabe-se que f+g é contínua em a.
Sabe-se que f-g é contínua em a.
O que o enunciado pede:
Mostrar que f é contínua em a.
Mostrar que g é contínua em a.
Observação: estes são exatamente os dois itens que temos de provar. Nada mais foi fornecido nem é necessário.
Passo 2
Recordando a definição de continuidade em um ponto (passo didático e essencial).
Uma função h é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para todo x,
se |x-a|<\delta então |h(x)-h(a)|<\varepsilon.
Vou usar essa definição para provar a continuidade de f e de g. Também vou usar uma desigualdade útil (desigualdade triangular) que diz que, para quaisquer números reais u e v,
|u+v|\le |u|+|v|.
Essa desigualdade será usada para estimar diferenças.
Passo 3
Expressar f e g em termos de f+g e f-g — ideia central.
Defina
h(x)=f(x)+g(x),\qquad k(x)=f(x)-g(x).
Então, resolvendo o sistema para f e g, obtemos as fórmulas
Resumo e interpretação final (um empurrãozinho motivador).
A ideia-chave foi expressar f e g como combinações lineares de f+g e f-g — precisamente médias e diferenças — e então usar que pequenas variações em f+g e f-g forçam pequenas variações em f e g.
Em linguagem de limites, a mesma prova seria: \lim_{x\to a} (f+g)=f(a)+g(a) e \lim_{x\to a} (f-g)=f(a)-g(a); somando e subtraindo essas igualdades e dividindo por 2 dá \lim_{x\to a} f=f(a) e \lim_{x\to a} g=g(a).
Então estamos prontos: tanto f quanto g são contínuas em a. Boa — prova feita e com jeitinho didático!