Considere duas funções f e g tais que f+g e f-g são contínuas em um ponto a. Mostre que f e g são também são contínuas em a.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
  • São dadas duas funções f e g.
  • Sabe-se que f+g é contínua em a.
  • Sabe-se que f-g é contínua em a.
O que o enunciado pede:
  • Mostrar que f é contínua em a.
  • Mostrar que g é contínua em a.
Observação: estes são exatamente os dois itens que temos de provar. Nada mais foi fornecido nem é necessário.

Passo 2

Recordando a definição de continuidade em um ponto (passo didático e essencial).
  • Uma função h é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para todo x,
    se |x-a|<\delta então |h(x)-h(a)|<\varepsilon.
Vou usar essa definição para provar a continuidade de f e de g. Também vou usar uma desigualdade útil (desigualdade triangular) que diz que, para quaisquer números reais u e v,
|u+v|\le |u|+|v|.
Essa desigualdade será usada para estimar diferenças.

Passo 3

Expressar f e g em termos de f+g e f-g — ideia central.
Defina
h(x)=f(x)+g(x),\qquad k(x)=f(x)-g(x).
Então, resolvendo o sistema para f e g, obtemos as fórmulas
f(x)=\frac{1}{2}\big(h(x)+k(x)\big), \qquad g(x)=\frac{1}{2}\big(h(x)-k(x)\big).
Essas identidades valem para todo x (em particular em x=a):
f(a)=\frac{1}{2}\big(h(a)+k(a)\big), \qquad g(a)=\frac{1}{2}\big(h(a)-k(a)\big).

Passo 4

Provar que f é contínua em a usando \varepsilon- \delta.
Sabemos que h e k são contínuas em a. Então, dado qualquer \varepsilon>0, pela continuidade de h existe \delta_1>0 tal que
|x-a|<\delta_1 \implies |h(x)-h(a)|<\varepsilon.
Também, pela continuidade de k existe \delta_2>0 tal que
|x-a|<\delta_2 \implies |k(x)-k(a)|<\varepsilon.
Tome \delta=\min(\delta_1,\delta_2). Assim, se |x-a|<\delta vale simultaneamente |h(x)-h(a)|<\varepsilon e |k(x)-k(a)|<\varepsilon.
Agora estimo |f(x)-f(a)|. Usando a expressão de f do Passo 3:
|f(x)-f(a)|=\left|\frac{1}{2}\big(h(x)+k(x)\big)-\frac{1}{2}\big(h(a)+k(a)\big)\right| =\frac{1}{2}\big|\,h(x)-h(a)+k(x)-k(a)\,\big|.
Pelo triângulo,
\frac{1}{2}\big|h(x)-h(a)+k(x)-k(a)\big| \le \frac{1}{2}\big(|h(x)-h(a)|+|k(x)-k(a)|\big).
Como cada um dos termos dentro do parêntese é menor que \varepsilon, obtemos
|f(x)-f(a)| < \frac{1}{2}(\varepsilon+\varepsilon)=\varepsilon.
Portanto, para esse \delta, sempre que |x-a|<\delta temos |f(x)-f(a)|<\varepsilon. Isso mostra, pela definição, que f é contínua em a.
Dica prática para a prova na prova: representar f como média de f+g e f-g e aplicar a desigualdade triangular torna tudo direto.

Passo 5

Provar que g é contínua em a com argumentação análoga.
Usando a representação de g do Passo 3 e os mesmos \delta_1,\delta_2 definidos antes, para |x-a|<\delta temos
|g(x)-g(a)|=\left|\frac{1}{2}\big(h(x)-k(x)\big)-\frac{1}{2}\big(h(a)-k(a)\big)\right| =\frac{1}{2}\big|\,h(x)-h(a)-\big(k(x)-k(a)\big)\,\big|.
Pelo triângulo (escrevendo u=h(x)-h(a) e v=-(k(x)-k(a))),
\frac{1}{2}\big|h(x)-h(a)-\big(k(x)-k(a)\big)\big| \le \frac{1}{2}\big(|h(x)-h(a)|+|k(x)-k(a)|\big).
Como antes cada termo é <\varepsilon, segue
|g(x)-g(a)|<\varepsilon.
Logo g é contínua em a.

Passo 6

Resumo e interpretação final (um empurrãozinho motivador).
  • A ideia-chave foi expressar f e g como combinações lineares de f+g e f-g — precisamente médias e diferenças — e então usar que pequenas variações em f+g e f-g forçam pequenas variações em f e g.
  • Em linguagem de limites, a mesma prova seria: \lim_{x\to a} (f+g)=f(a)+g(a) e \lim_{x\to a} (f-g)=f(a)-g(a); somando e subtraindo essas igualdades e dividindo por 2 \lim_{x\to a} f=f(a) e \lim_{x\to a} g=g(a).
  • Então estamos prontos: tanto f quanto g são contínuas em a. Boa — prova feita e com jeitinho didático!

Resposta

f e g são contínuas em a.

Exercícios relacionados