Dada a equação E/S 2 ddoty+8 doty+6 y=3 u.
Calcule os autovalores da matriz do sistema a partir da REE.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de estado e precisamos achar os autovalores da matriz do sistema. Isso envolve conceitos de Espaço de Estados e autovalores, que nos ajudam a entender como o sistema se comporta ao longo do tempo. Para isso, vamos transformar a equação diferencial em uma representação matricial e, de lá, calcular os autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada de uma forma mais fácil de trabalhar. A equação é:
2 ddoty + 8 doty + 6 y = 3 u
Aqui, é a segunda derivada de em relação ao tempo, e é a primeira derivada. é a entrada do sistema.

Passo 3

Para transformar isso em Espaço de Estados, precisamos definir variáveis de estado. Vamos escolher:
x1 = y e x2 = doty
Assim, a derivada de dotx1 = x2 é:
2 ddoty = 3 u - 8 doty - 6 y
Agora, precisamos expressar ddoty = 32 u - 4 doty - 3 y . Da equação original:
dotx2 = ddoty = 32 u - 4 x2 - 3 x1
Dividindo tudo por 2:
Então,

Passo 4

Agora temos o sistema de equações em termos de dotx1 = x2 dotx2 = 32 u - 4 x2 - 3 x1 e X = x1 x2 , A = 0 & 1 -3 & -4 , B = 0 32 :
Podemos escrever isso na forma matricial , onde:

Passo 5

Agora, vamos focar na matriz A = 0 & 1 -3 & -4 , que é:
Os autovalores dessa matriz nos dão informações sobre as características dinâmicas do sistema, como estabilidade e comportamento oscilatório.

Passo 6

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Onde é a matriz identidade e são os autovalores.

Passo 7

Calculando A - lambda I = -lambda & 1 -3 & -4 - lambda :
(-lambda)(-4 - lambda) - (1)(-3) = lambda(4 + lambda) + 3 = lambda^2 + 4lambda + 3
A determinante dessa matriz é:

Passo 8

Agora, resolvemos a equação quadrática:
lambda^2 + 4lambda + 3 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
lambda = -4 pm raiz16 - 122 = -4 pm raiz42 = -4 pm 22

Passo 9

Isso nos dá duas soluções:
lambda1 = -4 + 22 = -1
lambda2 = -4 - 22 = -3

Resposta

Os autovalores da matriz do sistema são e .

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