Dada a equação E/S
.
Calcule os autovalores da matriz do sistema a partir da REE.
Calcule os autovalores da matriz do sistema a partir da REE.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de estado
e precisamos achar os autovalores da matriz do sistema. Isso envolve conceitos de Espaço de Estados e autovalores, que nos ajudam a entender como o sistema se comporta ao longo do tempo. Para isso, vamos transformar a equação diferencial em uma representação matricial e, de lá, calcular os autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada de uma forma mais fácil de trabalhar. A equação é:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação ao tempo, e
é a primeira derivada.
é a entrada do sistema.
Passo 3
Para transformar isso em Espaço de Estados, precisamos definir variáveis de estado. Vamos escolher:
Assim, a derivada de
é:
Agora, precisamos expressar
. Da equação original:
Dividindo tudo por 2:
Então,
Passo 4
Agora temos o sistema de equações em termos de
e
:
Podemos escrever isso na forma matricial
, onde:
Passo 5
Agora, vamos focar na matriz
, que é:
Os autovalores dessa matriz nos dão informações sobre as características dinâmicas do sistema, como estabilidade e comportamento oscilatório.
Passo 6
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Onde
é a matriz identidade e
são os autovalores.
Passo 7
Calculando
:
A determinante dessa matriz é:
Passo 8
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Passo 9
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
Os autovalores da matriz do sistema são
e
.