Dada a equação E/S 2 ddoty+8 doty+6 y=3 u.
Descreva qualitativamente a resposta completa do sistema quando as condições iniciais são y(0)=5, doty(0)=0 e u(t)=0 (sem entrada).

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A questão nos dá uma equação diferencial de segunda ordem: . Nosso objetivo é descrever qualitativamente como o sistema responde quando as condições iniciais são , e não temos entrada externa ( ). Vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais lineares e como as condições iniciais influenciam a resposta do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dada, já que 2 ddoty + 8 doty + 6 y = 0. Assim, a equação fica:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem, e vamos resolver para encontrar a resposta do sistema.

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada. A equação característica para 2 r^2 + 8 r + 6 = 0 é:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
r = -8 pm raiz8^2 - 4 cdot 2 cdot 62 cdot 2 = -8 pm raiz64 - 484 = -8 pm raiz164
Então, temos:
r = -8 pm 44
Isso nos dá duas raízes:
r1 = -8 + 44 = -1
r2 = -8 - 44 = -3

Passo 5

As raízes e são reais e distintas. Isso significa que o sistema é superamortecido. Em termos de resposta, isso indica que o sistema retornará ao equilíbrio sem oscilações, mas de forma mais lenta comparado ao caso subamortecido.

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^-1 t + C2 e^-3 t
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .

Passo 7

Aplicando 5 = C1 e^0 + C2 e^0 Rightarrow C1 + C2 = 5:
doty(t) = -C1 e^-1 t - 3 C2 e^-3 t
E aplicando 0 = -C1 - 3 C2:

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
  1. -C1 = 3 C2 Rightarrow C1 = -3 C2
  2. -3 C2 + C2 = 5 Rightarrow -2 C2 = 5 Rightarrow C2 = -52
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,

Passo 9

Agora, substituindo y(t) = 152 e^-t - 52 e^-3 t e na solução geral:
Essa é a resposta completa do sistema.

Resposta

A resposta do sistema é . Isso significa que, com as condições iniciais dadas e sem entrada externa, a saída inicialmente reage com valores altos que decaem de forma exponencial sem oscilações, retornando lentamente ao equilíbrio.

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