Dada a equação E/S
.
Descreva qualitativamente a resposta completa do sistema quando as condições iniciais são
e
(sem entrada).
Descreva qualitativamente a resposta completa do sistema quando as condições iniciais são
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A questão nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
. Nosso objetivo é descrever qualitativamente como o sistema responde quando as condições iniciais são
,
e não temos entrada externa (
). Vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais lineares e como as condições iniciais influenciam a resposta do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dada, já que
. Assim, a equação fica:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem, e vamos resolver para encontrar a resposta do sistema.
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada. A equação característica para
é:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos:
Isso nos dá duas raízes:
Passo 5
As raízes
e
são reais e distintas. Isso significa que o sistema é superamortecido. Em termos de resposta, isso indica que o sistema retornará ao equilíbrio sem oscilações, mas de forma mais lenta comparado ao caso subamortecido.
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Passo 7
Aplicando
:
E aplicando
:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Passo 9
Agora, substituindo
e
na solução geral:
Essa é a resposta completa do sistema.
Resposta
A resposta do sistema é
. Isso significa que, com as condições iniciais dadas e sem entrada externa, a saída inicialmente reage com valores altos que decaem de forma exponencial sem oscilações, retornando lentamente ao equilíbrio.