Dada a seguinte EDO homogênea
com condições iniciais
. Responda.
Estime o tempo para atingir o regime permanente.
Estime o tempo para atingir o regime permanente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea do segundo grau:
com as condições iniciais
e
. Nosso objetivo é estimar o tempo para atingir o regime permanente, ou seja, quanto tempo leva para a solução da EDO se estabilizar.
Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais homogêneas de segunda ordem e aplicar condições iniciais para encontrar a solução completa. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da nossa EDO. É uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral é:
No nosso caso,
,
e
.
Para resolver esse tipo de equação, a gente começa encontrando as raízes da equação característica, que é:
Vamos fazer isso agora.
Passo 3
Vamos montar a equação característica com os valores que temos:
Para encontrar as raízes dessa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Vamos calcular o discriminante
:
Como
, as raízes serão complexas. Isso significa que a solução geral da EDO terá uma parte exponencial e uma parte trigonométrica (seno e cosseno).
Passo 4
Vamos achar as raízes complexas usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são
e
.
Passo 5
Como as raízes são complexas, a solução geral da EDO é:
onde:
-
é a parte real das raízes (-3 neste caso), -
é a parte imaginária das raízes (5 neste caso), -
e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Então, substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Substituindo
na solução geral:
Segunda condição:
Primeiro, vamos derivar
:
Agora, substituindo
e
:
Passo 7
Com
e
, nossa solução particular fica:
Essa é a solução completa que satisfaz a EDO e as condições iniciais dadas.
Passo 8
Agora, precisamos estimar o tempo para atingir o regime permanente. Como a equação é homogênea e a solução envolve um termo exponencial decrescente
, o regime permanente é quando
se aproxima de zero.
Para estimar o tempo necessário para que
seja negligivelmente pequena, podemos usar a regra prática de que após cerca de 5 vieses de
, ou seja,
, a função exponencial já é bem próxima de zero.
Aqui,
, então:
Então, após aproximadamente 1,666 segundos, o sistema estará praticamente no regime permanente.
Resposta
O tempo estimado para atingir o regime permanente é de aproximadamente 1,67 segundos.