Dada a seguinte EDO homogênea 2 ddoty+12 doty+68 y=0 com condições iniciais y(0)=3, doty(0)=0. Responda.
Estime o tempo para atingir o regime permanente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea do segundo grau:
2 ddoty + 12 doty + 68 y = 0
com as condições iniciais e . Nosso objetivo é estimar o tempo para atingir o regime permanente, ou seja, quanto tempo leva para a solução da EDO se estabilizar.
Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais homogêneas de segunda ordem e aplicar condições iniciais para encontrar a solução completa. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da nossa EDO. É uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral é:
a ddoty + b doty + c y = 0
No nosso caso, a r^2 + b r + c = 0 , e .
Para resolver esse tipo de equação, a gente começa encontrando as raízes da equação característica, que é:
Vamos fazer isso agora.

Passo 3

Vamos montar a equação característica com os valores que temos:
2 r^2 + 12 r + 68 = 0
Para encontrar as raízes dessa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Vamos calcular o discriminante De:
Como , as raízes serão complexas. Isso significa que a solução geral da EDO terá uma parte exponencial e uma parte trigonométrica (seno e cosseno).

Passo 4

Vamos achar as raízes complexas usando a fórmula de Bhaskara:
r = -12 pm raiz-4002 cdot 2 = -12 pm 20i4 = -124 pm 20i4 = -3 pm 5i
Então, as raízes são e .

Passo 5

Como as raízes são complexas, a solução geral da EDO é:
y(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) )
onde:
  • y(t) = e^-3t ( C1 cos(5t) + C2 sin(5t) ) é a parte real das raízes (-3 neste caso),
  • é a parte imaginária das raízes (5 neste caso),
  • e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Então, substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar 3 = e^0 ( C1 cos(0) + C2 sin(0) ) e 3 = 1 cdot (C1 cdot 1 + C2 cdot 0) .
Primeira condição: 3 = C1
Substituindo C1 = 3 na solução geral:
doty(t) = ddt [ e^-3t ( 3 cos(5t) + C2 sin(5t) ) ]
doty(t) = e^-3t ( -3 cdot 3 cos(5t) + 3 cdot (-5) sin(5t) + C2 cdot (-3) sin(5t) + C2 cdot 5 cos(5t) )
doty(t) = e^-3t ( (-9 + 5 C2) cos(5t) + (-15 - 3 C2) sin(5t) )
0 = e^0 ( (-9 + 5 C2) cos(0) + (-15 - 3 C2) sin(0) )
Segunda condição: 0 = (-9 + 5 C2) cdot 1 + (-15 - 3 C2) cdot 0
Primeiro, vamos derivar 0 = -9 + 5 C2 :
5 C2 = 9
C2 = 95 = 1.8
Agora, substituindo e :

Passo 7

Com y(t) = e^-3t ( 3 cos(5t) + 1.8 sin(5t) ) e , nossa solução particular fica:
Essa é a solução completa que satisfaz a EDO e as condições iniciais dadas.

Passo 8

Agora, precisamos estimar o tempo para atingir o regime permanente. Como a equação é homogênea e a solução envolve um termo exponencial decrescente t >= 53 approx 1.666 , segundos , o regime permanente é quando se aproxima de zero.
Para estimar o tempo necessário para que seja negligivelmente pequena, podemos usar a regra prática de que após cerca de 5 vieses de , ou seja, , a função exponencial já é bem próxima de zero.
Aqui, , então:
Então, após aproximadamente 1,666 segundos, o sistema estará praticamente no regime permanente.

Resposta

O tempo estimado para atingir o regime permanente é de aproximadamente 1,67 segundos.

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