Sendo os sinais de entrada x[n] e saída y[n] de um sistema:
Determine a resposta ao impulso usando transformada z:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá os sinais de entrada
e saída
de um sistema. Nosso objetivo é encontrar a resposta ao impulso
desse sistema usando a transformada Z. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformadas Z e como elas são usadas para analisar sistemas discretos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada Z é uma ferramenta matemática que nos ajuda a analisar sinais e sistemas no domínio da frequência. Ela transforma uma sequência de tempo discreto
em uma função
no domínio Z. A relação entre a transformada Z da saída
e da entrada
é dada por:
Onde
é a transformada Z da resposta ao impulso
. Então, para encontrar
, precisamos primeiro encontrar
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a transformada Z da entrada
e da saída
:
Dado
, a transformada Z é:
E para a saída
, primeiro ajustamos os índices:
Aplicando a transformada Z:
Passo 4
Agora, usando a relação
, podemos encontrar
:
Passo 5
Simplificando a expressão de
:
Podemos dividir a fração:
Passo 6
Para encontrar
, aplicamos a transformada inversa de
. Observando a expressão, vemos que é uma combinação de termos escalonados no tempo. Calculando a inversa, obtemos:
Após simplificar, encontramos:
Resposta
A resposta ao impulso do sistema é: