Sendo os sinais de entrada x[n] e saída y[n] de um sistema:
y[n]=0,25^(n-2) u[n-2] x[n]=0,5^n u[n]
Determine a resposta ao impulso usando transformada z:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá os sinais de entrada e saída de um sistema. Nosso objetivo é encontrar a resposta ao impulso desse sistema usando a transformada Z. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformadas Z e como elas são usadas para analisar sistemas discretos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada Z é uma ferramenta matemática que nos ajuda a analisar sinais e sistemas no domínio da frequência. Ela transforma uma sequência de tempo discreto Y(z) = H(z) cdot X(z) em uma função no domínio Z. A relação entre a transformada Z da saída e da entrada é dada por:
Onde é a transformada Z da resposta ao impulso . Então, para encontrar , precisamos primeiro encontrar .

Passo 3

Vamos começar encontrando a transformada Z da entrada X(z) = sumn=0^infty 0,5^n z^-n = 11 - 0,5 z^-1 e da saída y[n] = 0,25^n-2 u[n-2] = 0,25^-2 cdot 0,25^n u[n-2] :
Dado Y(z) = 0,25^-2 z^-2 cdot 11 - 0,25 z^-1 = 16 z^-2 cdot 11 - 0,25 z^-1 , a transformada Z é:
E para a saída , primeiro ajustamos os índices:
Aplicando a transformada Z:

Passo 4

Agora, usando a relação H(z) = Y(z)X(z) = 16 z^-2 cdot 11 - 0,25 z^-111 - 0,5 z^-1 = 16 z^-2 cdot 1 - 0,5 z^-11 - 0,25 z^-1 , podemos encontrar :

Passo 5

Simplificando a expressão de H(z) = 16 z^-2 cdot 1 - 0,5 z^-11 - 0,25 z^-1 = 16 z^-2 (1 - 0,5 z^-1) (11 - 0,25 z^-1) :
H(z) = 16 z^-2 (1 - 0,5 z^-1) sumk=0^infty (0,25)^k z^-k
Podemos dividir a fração:

Passo 6

Para encontrar h[n] = 16 ( de, aplicamos a transformada inversa de h[n] = 16 cdot 0,25^n-2 u[n-2] - 8 cdot 0,25^n-3 u[n-3] . Observando a expressão, vemos que é uma combinação de termos escalonados no tempo. Calculando a inversa, obtemos:
Após simplificar, encontramos:

Resposta

A resposta ao impulso do sistema é:
h[n] = 16 cdot 0,25^n-2 , u[n-2] - 8 cdot 0,25^n-3 , u[n-3]

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