Dada a equação
, esboce a resposta
para a entrada em degrau
e condição inicial
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
para encontrar a resposta
quando a entrada é um degrau
e a condição inicial é
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e resposta a entradas em degrau.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Podemos reescrevê-la da seguinte forma:
Sabemos que
, onde
é a função degrau de Heaviside. Substituindo, temos:
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial linear, vamos colocá-la na forma padrão:
Onde:
Isso facilita a aplicação do método do fator integrante.
Passo 4
Calculamos o fator integrante
, que é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em uma forma que pode ser integrada facilmente.
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados de
a
:
Passo 6
Como
para
, a integral fica:
Substituindo de volta:
Passo 7
Resolvendo para
:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Resposta
A resposta ao degrau
é: