Dada a equação E / S 2 doty+10 y=3 u, esboce a resposta y(t) para a entrada em degrau u(t)=6 U(t) e condição inicial y(0)=-2.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ES^2 doty + 10 y = 3 u para encontrar a resposta y(t) quando a entrada é um degrau u(t) = 6 U(t) e a condição inicial é y(0) = -2. Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e resposta a entradas em degrau.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Podemos reescrevê-la da seguinte forma:
ES^2 doty + 10 y = 3 u(t)
Sabemos que u(t) = 6 U(t), onde U(t) é a função degrau de Heaviside. Substituindo, temos:
ES^2 doty + 10 y = 3 times 6 U(t) = 18 U(t)

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial linear, vamos colocá-la na forma padrão:
doty + a y = b U(t)
Onde:
a = 10 S^2E, b = 18 S^2E
Isso facilita a aplicação do método do fator integrante.

Passo 4

Calculamos o fator integrante mu(t), que é dado por:
mu(t) = e^integral a , dt = e^a t
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^a t doty + a e^a t y = b e^a t U(t)
Isso transforma a equação em uma forma que pode ser integrada facilmente.

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto mu(t) y(t):
ddt ( e^a t y ) = b e^a t U(t)
Integrando ambos os lados de 0 a t:
e^a t y(t) - e^a times 0 y(0) = integral0^t b e^a tau U(tau) dtau

Passo 6

Como U(tau) = 1 para tau >= 0, a integral fica:
integral0^t b e^a tau dtau = ba ( e^a t - 1 )
Substituindo de volta:
e^a t y(t) - y(0) = ba ( e^a t - 1 )

Passo 7

Resolvendo para y(t):
y(t) = y(0) e^-a t + ba ( 1 - e^-a t )
Substituindo os valores de a e b:
y(t) = -2 e^-a t + 18 S^2 / E10 S^2 / E ( 1 - e^-a t ) = -2 e^-a t + 1810 ( 1 - e^-a t )

Passo 8

Simplificando a expressão:
y(t) = -2 e^-a t + 1.8 ( 1 - e^-a t ) = -2 e^-a t + 1.8 - 1.8 e^-a t = 1.8 - 3.8 e^-a t

Resposta

A resposta ao degrau y(t) é:
y(t) = 1.8 - 3.8 e^-10 S^2E t

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