Um sistema mecânico de segunda ordem possui a seguinte função de transferência:
G(s)=Y(s)U(s)=12 s^2+3 s+24
na qual a saída y(t) é o deslocamento e a entrada u(t) é a força aplicada. O sistema está em repouso em t=0. Se uma entrada em degrau de 3 N é aplicada ao sistema, a resposta transiente exibe vibrações ou oscilações? Explique a resposta.

Passo 1

Então, vamos lá! Recebemos um exercício sobre um sistema mecânico de segunda ordem, que tem uma função de transferência dada por:
G(s) = Y(s)U(s) = 12 s^2 + 3 s + 24
Aqui, a saída representa o deslocamento, e a entrada é a força aplicada. O sistema está parado quando e recebe uma força de 3 N de forma repentina (entrada em degrau). A pergunta é: a resposta transiente desse sistema mostra vibrações ou oscilações? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas de segunda ordem e como eles respondem a entradas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de transferência para facilitar nossa análise. A função dada é:
G(s) = 12 s^2 + 3 s + 24
Queremos colocá-la na forma padrão de um sistema de segunda ordem, que é:
G(s) = omegan^2s^2 + 2 zeta omegan s + omegan^2
Para isso, vamos dividir o numerador e o denominador por 2:
G(s) = 12 s^2 + 3 s + 24 = 12s^2 + 32 s + 12
Agora, temos:
G(s) = 12s^2 + 1.5 s + 12

Passo 3

Comparando com a forma padrão omegan = raiz12 = 2 raiz3 approx 3.4641 , rad/s , podemos identificar os parâmetros naturais do sistema:
Agora, vamos encontrar o valor de :

Passo 4

Com 2 zeta omegan = 1.5 implies zeta = 1.52 omegan = 1.52 times 3.4641 approx 1.56.9282 approx 0.2165 conhecido, podemos encontrar o coeficiente de amortecimento :

Passo 5

Agora, vamos interpretar o valor de :
  • Se : Sistema subamortecido (underdamped) – apresenta oscilações.
  • Se : Sistema criticamente amortecido – retorna ao equilíbrio sem oscilar.
  • Se : Sistema superamortecido (overdamped) – também retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas mais devagar.
No nosso caso, , o que significa que o sistema é subamortecido.

Resposta

A resposta transiente do sistema exibe oscilações, pois o sistema é subamortecido ( ), resultando em vibrações na resposta.

Exercícios relacionados