Para os sistemas a seguir, i) determine a função de transferência no tempo h(t). ii) determine a resposta forçada para a entrada degrau. iii) Determine a resposta forçada para entrada x(t)=mu(t-5). iii. Determine a resposta forçada para a entrada x(t)=2 de. iv. Determine a resposta forçada para a entrada x(t)=2 e^-7 t.
d^3 yd t^3+2,5 d^2 yd t^2=6,8 x-d xd t

Passo 1

Tá, vamos lá. A questão dá um sistema linear descrito por
d^3 yd t^3 + 2,5 d^2 yd t^2 = 6,8,x(t) ;-;d x(t)d t
e pede basicamente:
  1. a função de transferência e o impulso ,
  2. a resposta forçada a um degrau ,
  3. a mesma resposta pra ,
  4. pra ,
  5. e pra .
Conteúdo que usamos: transformada de Laplace, p.f. (frações parciais) e tabelinha básica de inversão pra achar e cada saída forçada. Não assume nada do aluno, ok?

Passo 2

Vamos à transformada de Laplace do sistema (condições iniciais todas zero):
s^3 Y(s) + 2,5,s^2 Y(s) ;=;6,8,X(s);-;s,X(s)
Logo
H(s)=Y(s)X(s) =6,8 - ss^2,(s+2,5)
Agora a gente faz frações parciais:
6,8 - ss^2(s+2,5) =As+Bs^2+Cs+2,5
Resolvendo dá
A=-1,488, B=2,72, C=1,488
Invertendo (tabela Laplace):
h(t)=-1,488,de=0

Passo 3

Resposta ao degrau Y(s)=H(s),1s =-1,488s^2 +2,72s^3 +1,488s(s+2,5) .
Em ymu(t) =-1,488,t ;+;1,36,t^2 ;+;0,5952l(1-e^-2,5tr) : ,
Invertendo cada termo:
  • vira ,
  • vira ,
  • .
Logo para :

Passo 4

Agora ymu(t-5)(t) =ymu(t-5),mu(t-5) . Por deslocamento no tempo, a resposta é simplesmente

Passo 5

Para y(t) =2,h(t-4);+;3,ymu(t) , pela linearidade:

Passo 6

Pra Y(s)=H(s),2s+7 =2,(6,8 - s)s^2(s+2,5)(s+7) , em Y(s) =-0,53616s +0,77714s^2 +0,66133s+2,5 -0,12517s+7 : y2e^-7t(t) =-0,53616 +0,77714,t +0,66133,e^-2,5t -0,12517,e^-7t . Então
Fazendo frações parciais (o cálculo é chatinho mas você segue o mesmo método) obtemos:
Invertendo: para ,

Resposta

Resumindo tudo de forma direta (para h(t)=-1,488,de):
  1. Impulso
ymu(t)=-1,488,t+1,36,t^2+0,5952l(1-e^-2,5tr)
  1. Resposta ao degrau
ymu(t-5)(t)=ymu(t-5),mu(t-5)
  1. Resposta a y(t)=2,h(t-4)+3,ymu(t)
y2e^-7t(t) =-0,53616+0,77714,t+0,66133,e^-2,5t-0,12517,e^-7t
  1. Resposta a
  1. Resposta a
É isso aí, qualquer dúvida comenta!

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