Para os sistemas a seguir, i) determine a função de transferência no tempo h(t). ii) determine a resposta forçada para a entrada degrau. iii) Determine a resposta forçada para entrada x(t)=mu(t-5). iii. Determine a resposta forçada para a entrada x(t)=2 de. iv. Determine a resposta forçada para a entrada x(t)=2 e^-7 t.
d^2 yd t^2+3 d yd t+2,25 y=x-2 d xd t

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos um sistema definido pela equação diferencial
d^2 yd t^2 ;+;3,d yd t;+;2.25,y ;=; x ;-;2,d xd t
e pede várias coisas:
1. A função de transferência no tempo .
2. A resposta forçada ao degrau unitário .
3. A resposta ao degrau atrasado .
4. A resposta para .
5. A resposta para .
Conteúdo envolvido: teoria de sistemas LTI, transformada de Laplace, função de transferência e propriedade de deslocamento no tempo, além de convolução. Vamos assumir condições iniciais nulas ( e ) e resolver passo a passo.

Passo 2

Encontrando a função de transferência s^2Y(s)+3,sY(s)+2.25,Y(s);=;X(s);-;2l[s,X(s)r].
  1. Transformada de Laplace da equação, com (s^2+3s+2.25),Y(s);=;(1-2s),X(s) e H(s)=Y(s)X(s)=1-2ss^2+3s+2.25, :
    s^2+3s+2.25=(s+1.5)^2
    (a derivada vira 1-2s(s+1.5)^2 =-2(s+1.5)+4(s+1.5)^2 =-21s+1.5+41(s+1.5)^2, e as condições iniciais são zero).
  2. Isolando h(t) =l[-2,e^-1.5t+4,t,e^-1.5tr],mu(t), em função de :
  3. Para achar , fazemos a fração parcial. Note que

    e escrevemos
    $$\frac{1-2s}{(s+1.5)^2}
    =\frac{-2(s+1.5)+4}{(s+1.5)^2}
    =-2\frac{1}{s+1.5}+4\frac{1}{(s+1.5)^2},. $$
  4. Invertendo a Laplace:
    $$h(t)
    =\Bigl[-2,e{-1.5t}+4,t,e{-1.5t}\Bigr],\mu(t),. $$

Passo 3

Resposta forçada ao degrau unitário y(t)=integral0^t h(tau),1,dtau =integral0^tl[-2e^-1.5tau+4tau e^-1.5taur],dtau, .
Como o sistema é LTI, podemos usar convolução:
$$y(t)=\int_0^t h(\tau),1,d\tau
   =\int_0^t\bigl[-2e^{-1.5\tau}+4\tau e^{-1.5\tau}\bigr]\,d\tau\,. $$  
Fazendo as integrais (por partes onde for preciso), chega-se a
$$y(t)
=\frac{4}{9}\bigl(1-e{-1.5t}\bigr);-;\frac{8}{3},t,e{-1.5t},\quad t\ge0,. $$

Passo 4

Resposta ao degrau atrasado y(t) =l[tfrac49(1-e^-1.5(t-5))-tfrac83(t-5),e^-1.5(t-5)r];mu(t-5), .
Propriedade de deslocamento no tempo: a resposta é a mesma do degrau, só que atrasada 5 unidades:
$$y(t)
=\Bigl[\tfrac{4}{9}(1-e{-1.5(t-5)})-\tfrac{8}{3}(t-5),e{-1.5(t-5)}\Bigr];\mu(t-5),. $$

Passo 5

Entrada y(t) =2,h(t-4),mu(t-4);+;3l[tfrac49(1-e^-1.5t)-tfrac83t,e^-1.5tr] .
Como é LTI, soma de respostas:
  • A resposta a é .
  • A resposta a é vezes o resultado do passo 3.
Logo
$$y(t)
=2,h(t-4),\mu(t-4);+;3\Bigl[\tfrac{4}{9}(1-e{-1.5t})-\tfrac{8}{3}t,e{-1.5t}\Bigr]. $$

Passo 6

Entrada Y(s)=H(s),X(s) =1-2s(s+1.5)^2;2s+7 =-4s+2(s+1.5)^2(s+7), .
  1. No domínio Y(s)=120/121s+7 ;+;-120/121s+1.5 ;+;176/121(s+1.5)^2, : y(t) =120121e^-7t ;-;120121e^-1.5t ;+;176121,t,e^-1.5t, t>=0, .
  2. Então
  3. Fazendo frações parciais (detalhes tediosos, mas o resultado é):
  4. Invertendo a Laplace:

Resposta

i) .
ii) .
iii) .
iv) Para :

v) Para :

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