Para os sistemas a seguir, i) determine a função de transferência no tempo
. ii) determine a resposta forçada para a entrada degrau. iii) Determine a resposta forçada para entrada
. iii. Determine a resposta forçada para a entrada
. iv. Determine a resposta forçada para a entrada
.
Passo 1
Beleza, o exercício diz que temos um sistema definido pela equação diferencial
e pede várias coisas:
1. A função de transferência no tempo
2. A resposta forçada ao degrau unitário
3. A resposta ao degrau atrasado
4. A resposta para
5. A resposta para
Conteúdo envolvido: teoria de sistemas LTI, transformada de Laplace, função de transferência e propriedade de deslocamento no tempo, além de convolução. Vamos assumir condições iniciais nulas (
e
) e resolver passo a passo.
Passo 2
Encontrando a função de transferência
.
-
Transformada de Laplace da equação, com
e :
(a derivada virae as condições iniciais são zero). -
Isolando
em função de : -
Para achar
, fazemos a fração parcial. Note que
e escrevemos
$$\frac{1-2s}{(s+1.5)^2}=\frac{-2(s+1.5)+4}{(s+1.5)^2}=-2\frac{1}{s+1.5}+4\frac{1}{(s+1.5)^2},. $$ -
Invertendo a Laplace:$$h(t)=\Bigl[-2,e{-1.5t}+4,t,e{-1.5t}\Bigr],\mu(t),. $$
Passo 3
Resposta forçada ao degrau unitário
.
Como o sistema é LTI, podemos usar convolução:
$$y(t)=\int_0^t h(\tau),1,d\tau
=\int_0^t\bigl[-2e^{-1.5\tau}+4\tau e^{-1.5\tau}\bigr]\,d\tau\,. $$
Fazendo as integrais (por partes onde for preciso), chega-se a
$$y(t)
=\frac{4}{9}\bigl(1-e{-1.5t}\bigr);-;\frac{8}{3},t,e{-1.5t},\quad t\ge0,. $$
Passo 4
Resposta ao degrau atrasado
.
Propriedade de deslocamento no tempo: a resposta é a mesma do degrau, só que atrasada 5 unidades:
$$y(t)
=\Bigl[\tfrac{4}{9}(1-e{-1.5(t-5)})-\tfrac{8}{3}(t-5),e{-1.5(t-5)}\Bigr];\mu(t-5),. $$
Passo 5
Entrada
.
Como é LTI, soma de respostas:
- A resposta a
é . - A resposta a
é vezes o resultado do passo 3.
Logo
$$y(t)
=2,h(t-4),\mu(t-4);+;3\Bigl[\tfrac{4}{9}(1-e{-1.5t})-\tfrac{8}{3}t,e{-1.5t}\Bigr]. $$
Passo 6
Entrada
.
- No domínio
: . - Então
- Fazendo frações parciais (detalhes tediosos, mas o resultado é):
- Invertendo a Laplace:
Resposta
i)
.
ii) .
iii) .
iv) Para :
v) Para :
ii)
iii)
iv) Para
v) Para