Dada a expressão abaixo, especifique os termos dela, nos extremos da igualdade. Por exemplo, d A é o elemento de área.
\bar{x}=\frac{\int_{L} x w(x) d x}{\int_{L} w(x) d x}=\frac{\int_{A} x d A}{\int_{A} d A}

Passo 1

O enunciado mostra a fórmula do valor médio ou posição média \bar{x} de uma grandeza distribuída, escrita de duas formas equivalentes:
\bar{x} = \frac{\int_{L} x\,w(x)\,dx}{\int_{L} w(x)\,dx} = \frac{\int_{A} x\,dA}{\int_{A} dA}
À esquerda temos uma distribuição unidimensional ao longo de uma curva L com densidade linear w(x); à direita temos a mesma ideia mas em uma região plana A com densidade uniforme.

Passo 2

Interpretação de cada termo no lado unidimensional ( L):
\bar{x}: posição média ao longo de L.
L: curva ou linha de integração (por exemplo, uma viga).
w(x): função densidade linear em cada ponto x de L (peso por comprimento).
dx: elemento infinitesimal de comprimento ao longo de L.
\displaystyle \int_{L} x\,w(x)\,dx: momento estático em relação à origem, acumulando x vezes o peso local.
\displaystyle \int_{L} w(x)\,dx: peso total ou “massa” total ao longo de L.

Passo 3

Interpretação de cada termo no lado bidimensional ( A):
A: região de integração no plano (por exemplo, uma placa).
dA: elemento infinitesimal de área na região A.
\displaystyle \int_{A} x\,dA: primeiro momento de área em relação ao eixo y, acumulando x vezes cada pedacinho de área.
\displaystyle \int_{A} dA: área total da região A.

Resposta

\bar{x}: posição média ou centroide em x.
Lado 1 (unidimensional):
\,L – curva;
\,w(x) – densidade linear;
\,dx – elemento de comprimento;
\,\int_{L}x\,w(x)\,dx – momento de primeira ordem;
\,\int_{L}w(x)\,dx – peso total.
Lado 2 (bidimensional):
\,A – região de área;
\,dA – elemento de área;
\,\int_{A}x\,dA – primeiro momento de área;
\,\int_{A}dA – área total.

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