Geometricamente, por onde passa a linha de ação da força resultante num carregamento distribuído?

Passo 1

O enunciado pergunta, de forma geométrica, por onde passa a linha de ação da força resultante quando temos um carregamento distribuído w(x) aplicado ao longo de um corpo (por exemplo, uma viga) em [a,b]. O conteúdo envolvido é Estática: resultante de forças distribuídas e determinação do seu ponto de aplicação.

Passo 2

Para encontrar a intensidade da força resultante \displaystyle F, somamos (integramos) todos os elementos de força infinitesimal \mathrm{d}F = w(x)\,\mathrm{d}x. Assim,
F = \int_{a}^{b} w(x)\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Para que o momento da carga distribuída em relação a uma origem O seja igual ao momento da força resultante aplicada num ponto x_R, igualamos
M_{O} = \int_{a}^{b} x\,w(x)\,\mathrm{d}x \quad\text{a}\quad F\;x_{R}.
Isolando x_{R}, obtemos a coordenada do ponto de aplicação da resultante:
x_{R} \;=\;\frac{1}{F}\,\int_{a}^{b} x\,w(x)\,\mathrm{d}x \;=\;\frac{\displaystyle\int_{a}^{b} x\,w(x)\,\mathrm{d}x}{\displaystyle\int_{a}^{b} w(x)\,\mathrm{d}x}\,.

Passo 4

Geometricamente, \,x_{R} é o abscissa do baricentro (centroide) da “área” sob a curva w(x). Logo, a linha de ação da força resultante passa exatamente pelo baricentro da região representada pela distribuição de carga.

Resposta

A linha de ação da força resultante passa pelo baricentro da área sob o gráfico da função de densidade de carga w(x), ou seja, pelo ponto de aplicação cuja coordenada é
x_{R} = \frac{\int_{a}^{b} x\,w(x)\,\mathrm{d}x}{\int_{a}^{b} w(x)\,\mathrm{d}x}\,.

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