Dada a expressão para a intensidade do campo elétrico
em um meio onde
, calcule:
a) o vetor de Poynting;
b) densidade média de potência carregada pela onda.
a) o vetor de Poynting;
b) densidade média de potência carregada pela onda.
Passo 1
O enunciado dá a expressão do campo elétrico e os parâmetros do meio. Vou listar claramente o que temos (peguei estes dados do enunciado):
- Campo elétrico:
- Parâmetros do meio:
O enunciado pede:
a) o vetor de Poynting (ou seja, o vetor instantâneo );
b) a densidade média de potência transportada pela onda (ou seja, a média temporal de ).
a) o vetor de Poynting (ou seja, o vetor instantâneo
b) a densidade média de potência transportada pela onda (ou seja, a média temporal de
Passo 2
Interpretação física e estratégia (gosto de falar desse passo como um pequeno mapa):
A expressão de é soma de duas ondas planares que se propagam ao longo do eixo
(cada termo tem dependência
). Em meios lineares, podemos tratar cada componente como uma onda plana independente e somar os resultados para obter
total e depois
.
A expressão de
Formulazinha útil (vamos estudar ela agora): para uma onda plana senoidal propagando no sentido
em meio homogêneo e isotrópico, existe a relação entre
e
onde:
-
é a impedância intrínseca do meio, ; -
é o versor da direção de propagação (aqui porque aparece ); - o produto vetorial do tipo
dá a direção de (regra da mão direita), e o módulo de é .
Vou usar essa relação componente a componente.
Passo 3
Calcular a impedância intrínseca
do meio, explicando cada pedacinho:
Temos
e
. A impedância do meio é
Sabendo que
(a impedância do vácuo, aproximadamente
), e com
, obtemos
Se quiser valor decimal:
Passo 4
Encontrar os campos magnéticos correspondentes a cada componente de
.
Primeiro termo:
.
- Propaga em
( ). - Aplicando
: calculo do produto vetorial
Logo
Segundo termo:
.
- Também propaga em
. - Produto vetorial
Logo
Explicando a escolha de sinais: ela vem direto da regra da mão direita para
. Não é chute — é determinístico.
Passo 5
Somar as contribuições para obter
total:
Passo 6
Calcular o vetor instantâneo de Poynting
passo a passo (aqui uso a linearidade e as componentes para simplificar):
Escrevendo componentes:
onde
O produto vetorial dá (só sobra componente
, porque
e
são as únicas combinações não nulas):
Substituindo:
Portanto (atenção ao sinal: subtrai
):
Reescrevendo de forma compacta:
Esse é o vetor de Poynting instantâneo: ele aponta ao longo de
e é soma das potências instantâneas das duas componentes independentes.
Passo 7
Calcular a densidade média de potência (média temporal de
):
Para sinais senoidais puros a média temporal de
ou
é
. Mesmo com frequências diferentes, se a média for feita sobre um intervalo longo comparado aos períodos envolvidos, cada termo média para
. Assim:
Calculando os números:
Substituindo
:
Valor decimal aproximado (usando
):
Passo 8
Resumo numérico e interpretação final rápida (pra você levar direto pra prova):
- O vetor
é sempre na direção ; não há componente nos eixos . - A densidade média de potência também aponta em
e vale aproximadamente .
Resposta
a)
, com
.
b)