Dada a expressão para a intensidade do campo elétrico E=50 \cdot \cos \left(10^{9} \cdot t\right. 8 x) a_{y}+40 \cdot \sin \left(10^{8} \cdot t-9 x\right) a_{z}[\mathrm{~V} / \mathrm{m}] em um meio onde \mu_{r}=1, \varepsilon r=4, calcule:
a) o vetor de Poynting;
b) densidade média de potência carregada pela onda.

Passo 1

O enunciado dá a expressão do campo elétrico e os parâmetros do meio. Vou listar claramente o que temos (peguei estes dados do enunciado):
  • Campo elétrico:
\mathbf{E}(x,t)=50\cos\bigl(10^{9}t-8x\bigr)\,\mathbf{a}_y +40\sin\bigl(10^{8}t-9x\bigr)\,\mathbf{a}_z \quad[\mathrm{V/m}].
  • Parâmetros do meio:
\mu_r=1,\qquad \varepsilon_r=4.
O enunciado pede:
a) o vetor de Poynting (ou seja, o vetor instantâneo \mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H});
b) a densidade média de potência transportada pela onda (ou seja, a média temporal de \mathbf{S}).

Passo 2

Interpretação física e estratégia (gosto de falar desse passo como um pequeno mapa):
A expressão de \mathbf{E} é soma de duas ondas planares que se propagam ao longo do eixo x (cada termo tem dependência \omega t - kx). Em meios lineares, podemos tratar cada componente como uma onda plana independente e somar os resultados para obter \mathbf{H} total e depois \mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}.
Formulazinha útil (vamos estudar ela agora): para uma onda plana senoidal propagando no sentido +x em meio homogêneo e isotrópico, existe a relação entre \mathbf{E} e \mathbf{H}
\mathbf{H}=\frac{1}{\eta}\,\hat{k}\times\mathbf{E},
onde:
  • \eta é a impedância intrínseca do meio, \eta=\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}};
  • \hat{k} é o versor da direção de propagação (aqui \hat{k}=\mathbf{a}_x porque aparece \omega t - kx);
  • o produto vetorial do tipo \hat{k}\times\mathbf{E} dá a direção de \mathbf{H} (regra da mão direita), e o módulo de \mathbf{H} é |\mathbf{E}|/\eta.
Vou usar essa relação componente a componente.

Passo 3

Calcular a impedância intrínseca \eta do meio, explicando cada pedacinho:
Temos \mu=\mu_0\mu_r e \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r. A impedância do meio é
\eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}=\sqrt{\frac{\mu_0\mu_r}{\varepsilon_0\varepsilon_r}} =\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}}.
Sabendo que \sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=\eta_0=120\pi (a impedância do vácuo, aproximadamente 377\,\Omega), e com \mu_r=1,\\ \varepsilon_r=4, obtemos
\eta=\eta_0\sqrt{\frac{1}{4}}=\eta_0\cdot\frac{1}{2}=\frac{120\pi}{2}=60\pi\\ \Omega.
Se quiser valor decimal:
\eta=60\pi\approx 188{,}50\\ \Omega.

Passo 4

Encontrar os campos magnéticos correspondentes a cada componente de \mathbf{E}.
Primeiro termo: \mathbf{E}_1=50\cos(10^{9}t-8x)\,\mathbf{a}_y.
  • Propaga em +x ( \hat{k}=\mathbf{a}_x).
  • Aplicando \mathbf{H}_1=\dfrac{1}{\eta}\,\hat{k}\times\mathbf{E}_1: calculo do produto vetorial
\hat{k}\times\mathbf{a}_y=\mathbf{a}_x\times\mathbf{a}_y=\mathbf{a}_z.
Logo
\mathbf{H}_1=\frac{1}{\eta}\,50\cos(10^{9}t-8x)\,\mathbf{a}_z.
Segundo termo: \mathbf{E}_2=40\sin(10^{8}t-9x)\,\mathbf{a}_z.
  • Também propaga em +x.
  • Produto vetorial
\hat{k}\times\mathbf{a}_z=\mathbf{a}_x\times\mathbf{a}_z=-\mathbf{a}_y.
Logo
\mathbf{H}_2=\frac{1}{\eta}\,40\sin(10^{8}t-9x)\,(-\mathbf{a}_y) =-\frac{40}{\eta}\sin(10^{8}t-9x)\,\mathbf{a}_y.
Explicando a escolha de sinais: ela vem direto da regra da mão direita para \hat{k}\times\mathbf{E}. Não é chute — é determinístico.

Passo 5

Somar as contribuições para obter \mathbf{H} total:
\mathbf{H}(x,t)=\mathbf{H}_1+\mathbf{H}_2 =\frac{50}{\eta}\cos(10^{9}t-8x)\,\mathbf{a}_z -\frac{40}{\eta}\sin(10^{8}t-9x)\,\mathbf{a}_y.

Passo 6

Calcular o vetor instantâneo de Poynting \mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H} passo a passo (aqui uso a linearidade e as componentes para simplificar):
Escrevendo componentes:
\mathbf{E}=E_y\,\mathbf{a}_y+E_z\,\mathbf{a}_z, \qquad \mathbf{H}=H_y\,\mathbf{a}_y+H_z\,\mathbf{a}_z,
onde
E_y=50\cos(10^{9}t-8x),\quad E_z=40\sin(10^{8}t-9x),
H_z=\frac{50}{\eta}\cos(10^{9}t-8x),\quad H_y=-\frac{40}{\eta}\sin(10^{8}t-9x).
O produto vetorial dá (só sobra componente x, porque y\times z e z\times y são as únicas combinações não nulas):
\mathbf{S}= \bigl(E_y H_z - E_z H_y\bigr)\,\mathbf{a}_x.
Substituindo:
E_y H_z=50\cos(10^{9}t-8x)\cdot\frac{50}{\eta}\cos(10^{9}t-8x) =\frac{2500}{\eta}\cos^2(10^{9}t-8x),
E_z H_y=40\sin(10^{8}t-9x)\cdot\Bigl(-\frac{40}{\eta}\sin(10^{8}t-9x)\Bigr) =-\frac{1600}{\eta}\sin^2(10^{8}t-9x).
Portanto (atenção ao sinal: subtrai E_z H_y):
\mathbf{S}(x,t)=\left(\frac{2500}{\eta}\cos^2(10^{9}t-8x) +\frac{1600}{\eta}\sin^2(10^{8}t-9x)\right)\mathbf{a}_x.
Reescrevendo de forma compacta:
\mathbf{S}(x,t)=\frac{1}{\eta}\Bigl(2500\cos^2(10^{9}t-8x)+1600\sin^2(10^{8}t-9x)\Bigr)\mathbf{a}_x.
Esse é o vetor de Poynting instantâneo: ele aponta ao longo de \mathbf{a}_x e é soma das potências instantâneas das duas componentes independentes.

Passo 7

Calcular a densidade média de potência (média temporal de \mathbf{S}):
Para sinais senoidais puros a média temporal de \cos^2 ou \sin^2 é 1/2. Mesmo com frequências diferentes, se a média for feita sobre um intervalo longo comparado aos períodos envolvidos, cada termo média para 1/2. Assim:
\langle \mathbf{S}\rangle =\frac{1}{\eta}\Bigl(2500\langle\cos^2\rangle+1600\langle\sin^2\rangle\Bigr)\mathbf{a}_x =\frac{1}{\eta}\Bigl(2500\cdot\frac{1}{2}+1600\cdot\frac{1}{2}\Bigr)\mathbf{a}_x.
Calculando os números:
\langle \mathbf{S}\rangle=\frac{1}{\eta}\cdot\frac{2500+1600}{2}\,\mathbf{a}_x =\frac{2050}{\eta}\,\mathbf{a}_x.
Substituindo \eta=60\pi:
\langle \mathbf{S}\rangle=\frac{2050}{60\pi}\,\mathbf{a}_x =\frac{205}{6\pi}\,\mathbf{a}_x\\ \mathrm{W/m^2}.
Valor decimal aproximado (usando \pi\approx3{,}14159):
\langle \mathbf{S}\rangle\approx 10{,}877\\ \mathbf{a}_x\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 8

Resumo numérico e interpretação final rápida (pra você levar direto pra prova):
  • O vetor \mathbf{S}(x,t) é sempre na direção +\mathbf{a}_x; não há componente nos eixos y,z.
  • A densidade média de potência também aponta em +\mathbf{a}_x e vale aproximadamente 10{,}88\\ \mathrm{W/m^2}.

Resposta

a) \displaystyle \mathbf{S}(x,t)=\frac{1}{\eta}\Bigl(2500\cos^2(10^{9}t-8x)+1600\sin^2(10^{8}t-9x)\Bigr)\mathbf{a}_x, com \eta=60\pi\\ \Omega.
b) \displaystyle \langle\mathbf{S}\rangle=\frac{2050}{\eta}\,\mathbf{a}_x=\frac{205}{6\pi}\,\mathbf{a}_x\\ \mathrm{W/m^2}\approx 10{,}877\,\mathbf{a}_x\\ \mathrm{W/m^2}

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