A densidade de fluxo de potência de uma onda plana é 5\left[\mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}\right] em um meio onde \mu=\mu_{0} e \varepsilon_{0}=\left(10^{-9} / 4 \pi\right)[\mathrm{F} / \mathrm{m}]. Determine:
a) a amplitude do campo elétrico E;
b) a amplitude do campo magnético \mathbf{H}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Densidade de fluxo de potência (valor médio do vetor de Poynting): \,S=5\,[\mathrm{W}/\mathrm{m}^2].
  • Permeabilidade magnética: \mu=\mu_0 com \mu_0=4\pi\times10^{-7}\,[\mathrm{H}/\mathrm{m}].
  • Permissividade elétrica fornecida: \varepsilon_0=\dfrac{10^{-9}}{4\pi}\,[\mathrm{F}/\mathrm{m}] (peguei este valor do enunciado).
    O que se pede:
    a) a amplitude do campo elétrico \,E_0;
    b) a amplitude do campo magnético \,H_0.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas básicas que ligam essas quantidades para uma onda plana senoidal viajando em um meio sem perdas (explicando devagar):
  • O valor médio do módulo do vetor de Poynting (densidade de potência média) para uma onda senoidal pode ser escrito em termos das amplitudes (picos) dos campos elétrico e magnético como
S=\frac{1}{2}\,E_0\,H_0.
Aqui \,E_0 é a amplitude (pico) do campo elétrico em volts por metro e \,H_0 é a amplitude (pico) do campo magnético em ampere por metro. A razão desse fator 1/2 vem da média temporal de uma função senoidal ao quadrado.
  • Os campos elétrico e magnético em uma onda plana são proporcionais via impedância intrínseca do meio:
E_0 = Z\,H_0,
onde a impedância intrínseca Z do meio vale
Z=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}.
Aqui \mu e \varepsilon são, respectivamente, a permeabilidade e a permissividade do meio.

Passo 3

Substituindo E_0=Z H_0 na expressão de S obtemos uma fórmula para S em termos de E_0 e Z:
S=\frac{1}{2}\,E_0\,H_0=\frac{1}{2}\,E_0\left(\frac{E_0}{Z}\right)=\frac{1}{2}\frac{E_0^2}{Z}.
Desse relacionamento isolamos E_0:
E_0=\sqrt{2 S Z}.
E, a partir de H_0=E_0/Z, teremos depois
H_0=\frac{E_0}{Z}=\sqrt{\frac{2S}{Z}}.
Agora precisamos calcular Z com os valores dados para \mu e \varepsilon.

Passo 4

Calcular a impedância intrínseca Z usando os valores fornecidos:
Z=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} =\sqrt{\frac{4\pi\times10^{-7}}{\,{10^{-9}}/{(4\pi)}\,}}.
Simplificando algebricamente o quociente:
\frac{4\pi\times10^{-7}}{\,{10^{-9}}/{(4\pi)}\,} =(4\pi\times10^{-7})\left(\frac{4\pi}{10^{-9}}\right) =16\pi^2\times10^{2}.
Portanto
Z=\sqrt{16\pi^2\times10^{2}}=4\pi\times10=40\pi\\ \Omega.
Como valor numérico aproximado usamos \pi\approx3,14159265, então
Z\approx40\pi\\ \Omega\approx125,66\\ \Omega.

Passo 5

Calcular a amplitude do campo elétrico \,E_0 usando \,E_0=\sqrt{2 S Z}. Substituindo S=5 e Z=40\pi:
E_0=\sqrt{2\cdot5\cdot40\pi}=\sqrt{400\pi}=20\sqrt{\pi}\\ \text{V/m}.
Valor numérico:
E_0\approx20\sqrt{\pi}\\ \text{V/m}\approx35,45\\ \text{V/m}.
(Expliquei passo a passo: 2\cdot5=10; 10\cdot40\pi=400\pi; \sqrt{400\pi}=20\sqrt{\pi}.)

Passo 6

Calcular a amplitude do campo magnético \,H_0. Usando H_0=E_0/Z e as expressões encontradas:
H_0=\frac{20\sqrt{\pi}}{40\pi}=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\\ \text{A/m}.
Valor numérico:
H_0\approx\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\\ \text{A/m}\approx0,2821\\ \text{A/m}.
(Detalhe: 20/40=1/2 e \sqrt{\pi}/\pi=1/\sqrt{\pi}.)

Passo 7

Resumo final (formas exatas e aproximações numéricas) prontas para checar rápido.

Resposta

a) E_0=20\sqrt{\pi}\\ \text{V/m}\approx35,45\\ \text{V/m}
b) H_0=\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}\\ \text{A/m}\approx0,2821\\ \text{A/m}

Exercícios relacionados