Considere uma onda plana uniforme com freqüência de 100 MHz e amplitude de campo elétrico igual a 1000 \mathrm{~V} / \mathrm{m} propagando-se no sentido +z em uma região com as seguintes constantes \varepsilon_{r}=4, \mu_{r}=1 e \sigma / \omega \varepsilon=1. Calcule \alpha, \beta, \eta, \delta e a expressão fasorial para E_{x} (z, t) e \boldsymbol{H}_{y}(z, t).

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede as grandezas indicadas:
  • Frequência: \,f=100\\ \mathrm{MHz}.
  • Amplitude do campo elétrico (no plano z=0): \,E_0=1000\\ \mathrm{V/m}.
  • Direção de propagação: sentido +z.
  • Constantes do meio: \varepsilon_r=4,\\ \mu_r=1.
  • Relação dada: \dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}=1. (Isto permite expressar a condutividade \sigma em função de \omega e \varepsilon.)
O que o enunciado pede:
  • Calcular \alpha (constante de atenuação), \beta (constante de fase), \eta (impedância intrínseca complexa) e \delta (profundidade de penetração, ou seja 1/\alpha).
  • Dar a expressão fasorial / temporal para E_x(z,t) e H_y(z,t).
Dados numéricos que vamos precisar (valores físicos):
  • \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • Impedância do vácuo \eta_0=120\pi\\ \Omega.

Passo 2

Fórmulas e ideias que vamos usar (explicação didática curta):
  • A pulsação é \omega=2\pi f. Esta é a frequência angular em rad/s que aparece nas expressões temporais.
  • Em meio com condutividade \sigma a permissividade efetiva é complexa; a constante de propagação complexa é
\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{j\omega\mu\;(\sigma+j\omega\varepsilon)}.
Isto vem da resolução das equações de Maxwell para uma onda plana: \gamma^2=j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon).
  • Outra forma equivalente (útil quando se usa a razão \chi=\sigma/(\omega\varepsilon)) é
\gamma=j\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\,\sqrt{1-j\chi}.
  • A impedância intrínseca complexa do meio é
\eta=\sqrt{\dfrac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\varepsilon}}.
  • Se conhecemos \gamma=\alpha+j\beta e tomamos a fasor do campo elétrico no plano z=0 como E_0 real e positivo na direção \hat{x}, então o fasor ao longo de z é
\tilde{E}(z)=E_0\,e^{-\gamma z}\,\hat{x}.
O campo magnético em fasor é
\tilde{H}(z)=\frac{1}{\eta}\,\hat{z}\times\tilde{E}(z)=\frac{E_0}{\eta}\,e^{-\gamma z}\,\hat{y}.
  • As formas temporais reais (reais do produto fasor por e^{j\omega t}) ficam
E_x(z,t)=E_0 e^{-\alpha z}\cos(\omega t-\beta z),
H_y(z,t)=\frac{E_0}{|\eta|} e^{-\alpha z}\cos\big(\omega t-\beta z-\arg(\eta)\big).
Vou aplicar essas fórmulas com os números do enunciado.

Passo 3

Calcular constantes intermediárias numéricas:
  • Pulsação:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot 100\times10^{6}=2\pi\cdot10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Permissividade e permeabilidade do meio:
\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0=4\cdot 8{,}854\times10^{-12}=3{,}5416\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m},
\mu=\mu_r\mu_0=1\cdot 4\pi\times10^{-7}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • Como o enunciado deu \dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}=1, definimos \chi=\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}=1. Isto simplifica várias expressões abaixo.

Passo 4

Avaliar \gamma usando \chi=1. Primeiro escrevemos:
\gamma=j\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\,\sqrt{1-j\chi}=j\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\,\sqrt{1-j}.
Agora calculamos \sqrt{1-j}. Em forma polar:
  • 1-j tem módulo |1-j|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.
  • argumento \arg(1-j)=-\pi/4.
    Portanto
\sqrt{1-j}=(\sqrt{2})^{1/2}\,e^{-j\pi/8}=2^{1/4}e^{-j\pi/8}.
Multiplicando por j=e^{j\pi/2} temos
\gamma=j\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\,2^{1/4}e^{-j\pi/8} =\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\,2^{1/4}e^{j(\pi/2-\pi/8)} =\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\,2^{1/4}e^{j3\pi/8}.
Isto mostra que \gamma tem módulo
|\gamma|=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\,2^{1/4}
e argumento 3\pi/8. Logo
\alpha=|\gamma|\cos\left(\tfrac{3\pi}{8}\right),\qquad \beta=|\gamma|\sin\left(\tfrac{3\pi}{8}\right).

Passo 5

Calcular numericamente |\gamma|, \alpha e \beta.
Primeiro \sqrt{\mu\varepsilon}:
\sqrt{\mu\varepsilon}=\sqrt{\mu_0\mu_r\varepsilon_0\varepsilon_r} =\sqrt{4\pi\times10^{-7}\cdot 3{,}5416\times10^{-11}} \approx 6{,}673\times10^{-9}\\ \mathrm{s/m}.
Então
\omega\sqrt{\mu\varepsilon}=(2\pi\cdot10^{8})\cdot 6{,}673\times10^{-9}\approx 4{,}194\\ \mathrm{m^{-1}}.
Multiplicando por 2^{1/4} (onde 2^{1/4}\approx 1{,}1892):
|\gamma| \approx 4{,}194\cdot 1{,}1892 \approx 4{,}985\\ \mathrm{m^{-1}}.
Agora use \cos(3\pi/8)=\cos(67{,}5^\circ)\approx 0{,}382683 e \sin(3\pi/8)=\sin(67{,}5^\circ)\approx 0{,}923880:
\alpha=4{,}985\cdot 0{,}382683\approx 1{,}909\\ \mathrm{m^{-1}},
\beta=4{,}985\cdot 0{,}923880\approx 4{,}605\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 6

Calcular a profundidade de penetração \delta:
\delta=\frac{1}{\alpha}\approx\frac{1}{1{,}909}\approx 0{,}524\\ \mathrm{m}.
(Isto significa que a amplitude do campo cai a 1/e da sua valor em z=0 após cerca de 0{,}524\\ \mathrm{m}.)

Passo 7

Calcular a impedância intrínseca \eta. Usando \chi=1:
\eta=\sqrt{\dfrac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\varepsilon}} =\sqrt{\dfrac{j\omega\mu}{\omega\varepsilon(1+j)}} =\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}\cdot\dfrac{j}{1+j}}.
Fazendo a simplificação complexa \dfrac{j}{1+j}=\dfrac{1+j}{2} (verificação rápida por multiplicar numerador e denominador por 1-j), obtemos
\eta=\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}\cdot\dfrac{1+j}{2}} =\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}\; \sqrt{\dfrac{1+j}{2}}.
Agora \sqrt{\mu/\varepsilon}=\eta_0\sqrt{\dfrac{\mu_r}{\varepsilon_r}}=377\cdot\sqrt{\dfrac{1}{4}}=377\cdot\tfrac{1}{2}=188{,}5\\ \Omega.
E \sqrt{\dfrac{1+j}{2}}=2^{-1/4}e^{j\pi/8} (módulo 2^{-1/4}\approx0{,}8409 e argumento \pi/8=22{,}5^\circ).
Portanto
|\eta|=188{,}5\cdot 2^{-1/4}\approx 188{,}5\cdot 0{,}8409\approx 158{,}4\\ \Omega,
e
\arg(\eta)=\tfrac{\pi}{8}=22{,}5^\circ\\ ( \approx 0{,}3927\\ \mathrm{rad} ).
Em forma fasorial/polar:
\eta\approx 158{,}4\,e^{j\pi/8}\\ \Omega\quad\text{(ou)}\quad 158{,}4\angle 22{,}5^\circ\\ \Omega.
Em forma retangular:
\eta\approx 146{,}3 + j\,60{,}6\\ \Omega.

Passo 8

Montar as expressões fasorial e temporal dos campos (usando E_0=1000\\ \mathrm{V/m} e os valores calculados).
Fasores:
\tilde{E}(z)=E_0\,e^{-\gamma z}\,\hat{x}=1000\,e^{-(1{,}909+j4{,}605)z}\,\hat{x}\quad(\mathrm{V/m}),
\tilde{H}(z)=\frac{E_0}{\eta}\,e^{-\gamma z}\,\hat{y} =\frac{1000}{158{,}4\,e^{j\pi/8}}\,e^{-(1{,}909+j4{,}605)z}\,\hat{y}\quad(\mathrm{A/m}).
Formas temporais reais (colocando \omega=2\pi\cdot10^8\\ \mathrm{rad/s}):
E_x(z,t)=1000\,e^{-1{,}909 z}\cos\big(\omega t-4{,}605\,z\big)\\ \mathrm{V/m},
H_y(z,t)=\dfrac{1000}{|\eta|}\,e^{-1{,}909 z}\cos\big(\omega t-4{,}605\,z-\arg(\eta)\big)\\ \mathrm{A/m}.
Substituindo números:
\dfrac{1000}{|\eta|}=\dfrac{1000}{158{,}4}\approx 6{,}313\\ \mathrm{A/m}, \qquad \arg(\eta)=\tfrac{\pi}{8}\approx 0{,}3927\\ \mathrm{rad}.
Então explicitamente
H_y(z,t)\approx 6{,}313\,e^{-1{,}909 z}\cos\big(\omega t-4{,}605\,z-0{,}3927\big)\\ \mathrm{A/m}.
Observação didática final: o termo e^{-1{,}909 z} mostra a atenuação exponencial do módulo do campo ao avançar no meio; a diferença de fase entre E e H (o -0{,}3927 rad) aparece porque a impedância é complexa: H fica defasado em relação a E.

Resposta

\alpha\approx 1{,}909\\ \mathrm{m^{-1}}
\beta\approx 4{,}605\\ \mathrm{m^{-1}}
\eta\approx 158{,}4\,e^{j\pi/8}\\ \Omega \approx 146{,}3 + j\,60{,}6\\ \Omega
\delta=\dfrac{1}{\alpha}\approx 0{,}524\\ \mathrm{m}
\displaystyle E_x(z,t)=1000\,e^{-1{,}909 z}\cos\big(2\pi\cdot10^{8}t-4{,}605\,z\big)\\ \mathrm{V/m}
\displaystyle H_y(z,t)\approx 6{,}313\,e^{-1{,}909 z}\cos\big(2\pi\cdot10^{8}t-4{,}605\,z-0{,}3927\big)\\ \mathrm{A/m}

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