Considere uma onda plana uniforme com freqüência de 100 MHz e amplitude de campo elétrico igual a
propagando-se no sentido +z em uma região com as seguintes constantes
e
. Calcule
e a expressão fasorial para
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede as grandezas indicadas:
- Frequência:
. - Amplitude do campo elétrico (no plano
): . - Direção de propagação: sentido
. - Constantes do meio:
. - Relação dada:
. (Isto permite expressar a condutividade em função de e .)
O que o enunciado pede:
- Calcular
(constante de atenuação), (constante de fase), (impedância intrínseca complexa) e (profundidade de penetração, ou seja ). - Dar a expressão fasorial / temporal para
e .
Dados numéricos que vamos precisar (valores físicos):
-
. -
. - Impedância do vácuo
.
Passo 2
Fórmulas e ideias que vamos usar (explicação didática curta):
- A pulsação é
. Esta é a frequência angular em rad/s que aparece nas expressões temporais. - Em meio com condutividade
a permissividade efetiva é complexa; a constante de propagação complexa é
Isto vem da resolução das equações de Maxwell para uma onda plana:
.
- Outra forma equivalente (útil quando se usa a razão
) é
- A impedância intrínseca complexa do meio é
- Se conhecemos
e tomamos a fasor do campo elétrico no plano como real e positivo na direção , então o fasor ao longo de é
O campo magnético em fasor é
- As formas temporais reais (reais do produto fasor por
) ficam
Vou aplicar essas fórmulas com os números do enunciado.
Passo 3
Calcular constantes intermediárias numéricas:
- Pulsação:
- Permissividade e permeabilidade do meio:
- Como o enunciado deu
, definimos . Isto simplifica várias expressões abaixo.
Passo 4
Avaliar
usando
. Primeiro escrevemos:
Agora calculamos
. Em forma polar:
-
tem módulo . - argumento
.
Portanto
Multiplicando por
temos
Isto mostra que
tem módulo
e argumento
. Logo
Passo 5
Calcular numericamente
,
e
.
Primeiro
:
Então
Multiplicando por
(onde
):
Agora use
e
:
Passo 6
Calcular a profundidade de penetração
:
(Isto significa que a amplitude do campo cai a
da sua valor em
após cerca de
.)
Passo 7
Calcular a impedância intrínseca
. Usando
:
Fazendo a simplificação complexa
(verificação rápida por multiplicar numerador e denominador por
), obtemos
Agora
E (módulo
e argumento
).
E
Portanto
e
Em forma fasorial/polar:
Em forma retangular:
Passo 8
Montar as expressões fasorial e temporal dos campos (usando
e os valores calculados).
Fasores:
Formas temporais reais (colocando
):
Substituindo números:
Então explicitamente
Observação didática final: o termo
mostra a atenuação exponencial do módulo do campo ao avançar no meio; a diferença de fase entre
e
(o
rad) aparece porque a impedância é complexa:
fica defasado em relação a
.