Uma onda plana se propaga ao longo do eixo +y em um meio com perdas ( \varepsilon_{\mathrm{r}}=4, \sigma=10^{-2} \mathrm{mhos} / \mathrm{m} e \mu \mathrm{r}=2. Seu campo elétrico em y =0 é \boldsymbol{E}=30 \cos \left(10^{9} \cdot \pi \cdot \mathrm{t}+\pi / 4\right)^{\wedge} \mathbf{k} \mathrm{V} / \mathrm{m}.
Encontre:
(a) o campo \boldsymbol{E} em y =1 \mathrm{~m} e t =2 \mathrm{~ns}
(b) a distância percorrida pela onda para ter uma mudança de fase de 10^{\circ}
(c) a distância percorrida pela onda para ter sua amplitude reduzida de 40%
(d) o campo \boldsymbol{H} em y =2 \mathrm{~m} e t=2 \mathrm{~ns}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (estou pegando todos estes números do enunciado):
  • \varepsilon_{\mathrm{r}}=4.
  • \sigma=10^{-2}\\ \mathrm{mhos/m}.
  • \mu_{\mathrm{r}}=2.
  • O campo elétrico em y=0 é \boldsymbol{E}(y=0,t)=30\cos\!\bigl(10^{9}\pi\,t+\pi/4\bigr)\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathrm{V/m}.
O que se pede:
(a) o campo \boldsymbol{E} em y=1\\ \mathrm{m} e t=2\\ \mathrm{ns};
(b) a distância percorrida pela onda para ter uma mudança de fase de 10^\circ;
(c) a distância para a amplitude ser reduzida de 40\% (interpreto como a amplitude ficar 60\% da original);
(d) o campo \boldsymbol{H} em y=2\\ \mathrm{m} e t=2\\ \mathrm{ns}.

Passo 2

Primeiro calculamos os parâmetros básicos da onda (frequência angular, constantes do meio) — isso é necessário para achar a constante de propagação \gamma=\alpha+j\beta.
  • Frequência angular:
\omega=\pi\cdot10^{9}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Permissividade e permeabilidade do meio:
\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}},\qquad \mu=\mu_0\mu_{\mathrm{r}}.
Substituindo \varepsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} e \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}:
\varepsilon=3{,}541675127\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}, \qquad \mu=2{,}513274123\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
  • Definimos também o parâmetro adimensional que mede as perdas:
x=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}.
Calculando \omega\varepsilon e x:
\omega\varepsilon\approx0{,}1112175\\ \mathrm{S/m}, \qquad x=\frac{0{,}01}{0{,}1112175}\approx0{,}08992.
  • Finalmente calculamos S=\omega\sqrt{\mu\varepsilon} (é o valor de \beta quando \sigma=0):
S=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\approx29{,}6463\\ \mathrm{(rad/m)}.
Explicação didática curta: \omega dá a oscilação temporal; \varepsilon e \mu descrevem o meio; x compara condutividade com resposta dielétrica em frequência \omega. Para x\ll1 o meio é “pouco lossoso”.

Passo 3

A constante de propagação em meio com perdas é \gamma=\alpha+j\beta com as expressões exatas (muito usadas):
\alpha=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\,\sqrt{\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{2}}, \qquad \beta=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\,\sqrt{\frac{\sqrt{1+x^{2}}+1}{2}}.
Essas fórmulas vêm de \gamma=\sqrt{j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)} e permitem separar a parte real (atenuação \alpha) e a parte imaginária (constante de fase \beta).
Usando x\approx0{,}08992 e S\approx29{,}6463:
\sqrt{1+x^{2}}\approx1{,}004035,
\alpha\approx29{,}6463\sqrt{\frac{1{,}004035-1}{2}} =29{,}6463\sqrt{0{,}0020175}\approx1{,}333\\ \mathrm{Np/m},
\beta\approx29{,}6463\sqrt{\frac{1{,}004035+1}{2}} =29{,}6463\sqrt{1{,}0020175}\approx29{,}676\\ \mathrm{rad/m}.
Interpretação: \alpha diz quanto a amplitude decai por metro (em Np/m); \beta diz quanto a fase avança por metro (em rad/m).

Passo 4

A forma geral do campo elétrico de uma onda plana que se propaga no sentido +y em meio com perdas é
\boldsymbol{E}(y,t)=E_{0}\,e^{-\alpha y}\cos\!\bigl(\omega t-\beta y+\varphi\bigr)\,\hat{\mathbf{k}},
onde E_{0} é a amplitude em y=0 e \varphi a fase inicial. Do enunciado temos E_{0}=30\\ \mathrm{V/m} e \varphi=\pi/4. Portanto
\boldsymbol{E}(y,t)=30\,e^{-\alpha y}\cos\!\bigl(\omega t-\beta y+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\,\hat{\mathbf{k}}.
Agora calculamos (a). Para y=1\\ \mathrm{m} e t=2\\ \mathrm{ns}=2\times10^{-9}\\ \mathrm{s}:
  • Primeiro \omega t= \pi\cdot10^{9}\cdot2\times10^{-9}=2\pi rad.
  • Atenuação: e^{-\alpha y}=e^{-1{,}333\cdot1}\approx0{,}2635.
  • Amplitude no ponto: 30\cdot0{,}2635\approx7{,}905\\ \mathrm{V/m}.
  • Fase total dentro do cosseno:
\omega t-\beta y+\tfrac{\pi}{4}=2\pi-\;29{,}676\cdot1+\tfrac{\pi}{4}.
Calculando numericamente,
2\pi\approx6{,}283185,\quad 2\pi+\tfrac{\pi}{4}\approx7{,}068583,
7{,}068583-29{,}676\approx-22{,}6074\\ \mathrm{rad}.
O cosseno desse ângulo vale cerca de \cos(-22{,}6074)\approx-0{,}816. Então o campo instantâneo:
\boldsymbol{E}(1,2\\ \mathrm{ns})\approx7{,}905\cdot(-0{,}816)\,\hat{\mathbf{k}} \approx-6{,}45\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathrm{V/m}.
Comentário didático: o sinal negativo indica que no instante dado o campo aponta na direção -\hat{\mathbf{k}}. Em frequência essa mudança é só por causa do termo de fase; a amplitude já caiu bastante por causa de e^{-\alpha y}.

Passo 5

(b) Distância para mudança de fase de 10^\circ.
A mudança de fase \Delta\varphi (em rad) corresponde a \Delta\varphi=\beta\,\Delta y. Passo de 10^\circ é \Delta\varphi=10^\circ=\dfrac{10\pi}{180}=\dfrac{\pi}{18}\\ \mathrm{rad}.
Assim
\Delta y=\frac{\Delta\varphi}{\beta}=\frac{\pi/18}{29{,}676}\approx\frac{0{,}1745329}{29{,}676}\approx0{,}005879\\ \mathrm{m}.
Ou seja, aproximadamente 5{,}88\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

(c) Distância para a amplitude ser reduzida de 40\%.
Interpreto “reduzida de 40\%” como a amplitude ficar 60\% da original, ou seja e^{-\alpha y}=0{,}60. Tomando logaritmo:
y=-\frac{\ln(0{,}60)}{\alpha}=\frac{0{,}5108256}{1{,}333}\approx0{,}3835\\ \mathrm{m}.
Portanto cerca de 0{,}384\\ \mathrm{m}.
Explicação: a queda exponencial e^{-\alpha y} dá a razão entre amplitude local e amplitude em y=0.

Passo 7

(d) Campo magnético \boldsymbol{H} em y=2\\ \mathrm{m} e t=2\\ \mathrm{ns}.
Relação entre \boldsymbol{E} e \boldsymbol{H} para uma onda plana no sentido +y:
\tilde{\boldsymbol{H}}(y)=\frac{1}{\eta}\,\hat{\mathbf{y}}\times\tilde{\boldsymbol{E}}(y),
onde \eta é a impedância intrínseca do meio (complexa) e \tilde{\boldsymbol{E}} e \tilde{\boldsymbol{H}} são fasores. Para nosso caso \tilde{\boldsymbol{E}} está em \hat{\mathbf{k}} ( \hat{z}), então \hat{\mathbf{y}}\times\hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}} ( \hat{x}). Logo \boldsymbol{H} aponta na direção \hat{\mathbf{i}} (até o fator de fase complexo).
A impedância intrínseca é
\eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}\,\frac{1+jx}{1+x^{2}}}\quad\text{(ou equivalentemente }\eta=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\varepsilon}}\text{)}.
Calculando numericamente (com x\approx0{,}08992 e \sqrt{\mu/\varepsilon}\approx266{,}48\\ \Omega):
\eta\approx(265{,}7 + j\,11{,}9)\\ \Omega,\quad |\eta|\approx266{,}04\\ \Omega,\quad \angle\eta\approx0{,}0449\\ \mathrm{rad}.
Então 1/\eta tem magnitude 1/|\eta| e fase -\angle\eta.
No ponto y=2\\ \mathrm{m} temos e^{-\alpha y}=e^{-1{,}333\cdot2}\approx0{,}06947. A amplitude do campo elétrico ali é
E_{\mathrm{amp}}(2)=30\cdot0{,}06947\approx2{,}084\\ \mathrm{V/m}.
Logo a amplitude do campo magnético é
H_{\mathrm{amp}}(2)=\frac{E_{\mathrm{amp}}(2)}{|\eta|}\approx\frac{2{,}084}{266{,}04}\approx0{,}007835\\ \mathrm{A/m}.
A fase do campo magnético (instantânea) é
\Phi_H=\omega t-\beta y+\tfrac{\pi}{4}-\angle\eta.
Para t=2\\ \mathrm{ns}, \omega t=2\pi, então numericamente a fase dá um cosseno aproximadamente \cos(\Phi_H)\approx-0{,}472. Portanto o valor instantâneo do campo é
\boldsymbol{H}(2,2\\ \mathrm{ns})\approx0{,}007835\cdot(-0{,}472)\,\hat{\mathbf{i}} \approx-3{,}70\times10^{-3}\,\hat{\mathbf{i}}\\ \mathrm{A/m}.
Comentário didático: o sinal negativo apenas indica que, no instante pedido, a componente instantânea de \boldsymbol{H} está dirigida em -\hat{\mathbf{i}}. A amplitude é pequena porque a onda foi bastante atenuada até y=2\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) \boldsymbol{E}(1\\ \mathrm{m},\,2\\ \mathrm{ns})\approx-6{,}45\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathrm{V/m}
(b) \Delta y\approx0{,}005879\\ \mathrm{m}
(c) y\approx0{,}3835\\ \mathrm{m}
(d) \boldsymbol{H}(2\\ \mathrm{m},\,2\\ \mathrm{ns})\approx-3{,}70\times10^{-3}\,\hat{\mathbf{i}}\\ \mathrm{A/m}

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