Uma onda plana se propaga ao longo do eixo +y em um meio com perdas (
,
e
. Seu campo elétrico em y
é
.
Encontre:
(a) o campo
em y
e t
(b) a distância percorrida pela onda para ter uma mudança de fase de
(c) a distância percorrida pela onda para ter sua amplitude reduzida de 40%
(d) o campo
em y
e
Encontre:
(a) o campo
(b) a distância percorrida pela onda para ter uma mudança de fase de
(c) a distância percorrida pela onda para ter sua amplitude reduzida de 40%
(d) o campo
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (estou pegando todos estes números do enunciado):
-
. -
. -
. - O campo elétrico em
é
O que se pede:
(a) o campo em
e
;
(b) a distância percorrida pela onda para ter uma mudança de fase de ;
(c) a distância para a amplitude ser reduzida de (interpreto como a amplitude ficar
da original);
(d) o campo em
e
.
(a) o campo
(b) a distância percorrida pela onda para ter uma mudança de fase de
(c) a distância para a amplitude ser reduzida de
(d) o campo
Passo 2
Primeiro calculamos os parâmetros básicos da onda (frequência angular, constantes do meio) — isso é necessário para achar a constante de propagação
.
- Frequência angular:
- Permissividade e permeabilidade do meio:
Substituindo
e
:
- Definimos também o parâmetro adimensional que mede as perdas:
Calculando
e
:
- Finalmente calculamos
(é o valor de quando ):
Explicação didática curta:
dá a oscilação temporal;
e
descrevem o meio;
compara condutividade com resposta dielétrica em frequência
. Para
o meio é “pouco lossoso”.
Passo 3
A constante de propagação em meio com perdas é
com as expressões exatas (muito usadas):
Essas fórmulas vêm de
e permitem separar a parte real (atenuação
) e a parte imaginária (constante de fase
).
Usando
e
:
Interpretação:
diz quanto a amplitude decai por metro (em Np/m);
diz quanto a fase avança por metro (em rad/m).
Passo 4
A forma geral do campo elétrico de uma onda plana que se propaga no sentido
em meio com perdas é
onde
é a amplitude em
e
a fase inicial. Do enunciado temos
e
. Portanto
Agora calculamos (a). Para
e
:
- Primeiro
rad. - Atenuação:
. - Amplitude no ponto:
. - Fase total dentro do cosseno:
Calculando numericamente,
O cosseno desse ângulo vale cerca de
. Então o campo instantâneo:
Comentário didático: o sinal negativo indica que no instante dado o campo aponta na direção
. Em frequência essa mudança é só por causa do termo de fase; a amplitude já caiu bastante por causa de
.
Passo 5
(b) Distância para mudança de fase de
.
A mudança de fase
(em rad) corresponde a
. Passo de
é
.
Assim
Ou seja, aproximadamente
.
Passo 6
(c) Distância para a amplitude ser reduzida de
.
Interpreto “reduzida de
” como a amplitude ficar
da original, ou seja
. Tomando logaritmo:
Portanto cerca de
.
Explicação: a queda exponencial
dá a razão entre amplitude local e amplitude em
.
Passo 7
(d) Campo magnético
em
e
.
Relação entre
e
para uma onda plana no sentido
:
onde
é a impedância intrínseca do meio (complexa) e
e
são fasores. Para nosso caso
está em
(
), então
(
). Logo
aponta na direção
(até o fator de fase complexo).
A impedância intrínseca é
Calculando numericamente (com
e
):
Então
tem magnitude
e fase
.
No ponto
temos
. A amplitude do campo elétrico ali é
Logo a amplitude do campo magnético é
A fase do campo magnético (instantânea) é
Para
,
, então numericamente a fase dá um cosseno aproximadamente
. Portanto o valor instantâneo do campo é
Comentário didático: o sinal negativo apenas indica que, no instante pedido, a componente instantânea de
está dirigida em
. A amplitude é pequena porque a onda foi bastante atenuada até
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)