Dada f(x)=\frac{\left|x^{2}+x\right|}{x}. Verifique se existem os limites abaixo e, caso existam, determine seus valores:
\lim _{x \rightarrow-1} f(x)

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\frac{\lvert x^{2}+x\rvert}{x}
e pede \lim_{x\to -1}f(x).
O conteúdo envolve limites e manipulação de valor absoluto, então vamos reescrever a parte interna para simplificar a função antes de calcular o limite.

Passo 2

Observe que
x^{2}+x = x(x+1),
portanto
\lvert x^{2}+x\rvert = \lvert x(x+1)\rvert = \lvert x\rvert\,\lvert x+1\rvert
e
f(x)=\frac{\lvert x\rvert\,\lvert x+1\rvert}{x}.

Passo 3

Para x perto de -1, temos x<0, logo \lvert x\rvert=-x. Substituindo em f(x):
f(x) =\frac{(-x)\,\lvert x+1\rvert}{x} =-\lvert x+1\rvert.

Passo 4

Agora calculamos o limite. Como \lvert x+1\rvert\to0 quando x\to-1, temos
\lim_{x\to-1}f(x) =\lim_{x\to-1}\bigl(-\lvert x+1\rvert\bigr) =-0=0.
Os limites laterais coincidem em 0, portanto o limite existe.

Resposta

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