A equação do movimento de Kepler, para órbitas elípticas, é descrita por:
M=E-e \operatorname{sen}(E)
onde e=0,0167 e M=1. Calcular uma aproximação para E, com erro inferior a 10^{-5} usando os seguinte métodos:
(d) Ponto fixo.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação de Kepler
M = E - e\sin(E)
com e = 0,0167 e M = 1. O objetivo é encontrar uma aproximação de E pelo método do ponto fixo com erro menor que 10^{-5}.

Passo 2

Para aplicar ponto fixo, rearranjamos
E = M + e\,\sin(E).
Definimos
g(E) = 1 + 0,0167\,\sin(E).
Verificamos a convergência pelo critério de contração:
g'(E) = 0,0167\cos(E),
logo \lvert g'(E)\rvert \le 0,0167 < 1, garantindo convergência global do método.

Passo 3

Escolhemos E_0 = 1 e iteramos
E_{n+1} = g(E_n) = 1 + 0,0167\,\sin(E_n).
Calculando os primeiros valores:
\begin{aligned} E_1 &= 1 + 0,0167\sin(1) \approx 1{,}014046,\\\ E_2 &= 1 + 0,0167\sin(1{,}014046) \approx 1{,}014173,\\\ E_3 &= 1 + 0,0167\sin(1{,}014173) \approx 1{,}014174,\\\ E_4 &= 1 + 0,0167\sin(1{,}014174) \approx 1{,}0141742. \end{aligned}

Passo 4

Adotando o critério de parada
\lvert E_{n+1} - E_n\rvert < 10^{-5},
observamos que
\lvert E_4 - E_3\rvert \approx 2\times10^{-7} < 10^{-5},
portanto a iteração pode ser encerrada em n=4.

Resposta

A aproximação de E obtida é
E \approx 1{,}0141742.

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