A equação do movimento de Kepler, para órbitas elípticas, é descrita por:
M=E-e \operatorname{sen}(E)
onde e=0,0167 e M=1. Calcular uma aproximação para E, com erro inferior a 10^{-5} usando os seguinte métodos:
(d) Ponto fixo.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Kepler para órbitas elípticas
M = E - e\,\operatorname{sen}(E)
com e = 0,0167 e M = 1, usando iteração de ponto fixo até obter um erro inferior a 10^{-5}.
O conteúdo aqui é método de ponto fixo: transformamos a equação numa forma
E = g(E)
e iteramos E_{n+1}=g(E_n) até convergir.

Passo 2

Reescrevemos a equação como ponto fixo definindo
g(E) = M + e\,\operatorname{sen}(E)
ou seja
E = 1 + 0,0167\,\operatorname{sen}(E).
Verificamos que
g'(E) = e\,\cos(E),
logo \lvert g'(E)\rvert \le e = 0{,}0167 < 1, o que garante convergência por ser um mapeamento contrátil.

Passo 3

Escolhemos como chute inicial
E_0 = M = 1.
A iteração fica
E_{n+1} = 1 + 0,0167\,\operatorname{sen}(E_n).
Para controlar o erro real \lvert E_n - E \rvert, usamos o fato de que em ponto fixo contrátil
\lvert E_n - E\rvert \le \frac{L}{1-L}\,\lvert E_n - E_{n-1}\rvert,
onde L = 0{,}0167. Assim basta parar quando \lvert E_n - E_{n-1}\rvert < (1-L)\,10^{-5}\approx 0{,}9833\times10^{-5}.

Passo 4

Calculamos as primeiras iterações:
n=0\to1:
E_1 = 1 + 0{,}0167\,\operatorname{sen}(1) \approx 1 + 0{,}0167\times0{,}841471 = 1{,}01405.
n=1\to2:
E_2 = 1 + 0{,}0167\,\operatorname{sen}(1{,}01405) \approx 1 + 0{,}0167\times0{,}84897 = 1{,}01419,
diferença \lvert E_2 - E_1\rvert\approx1{,}45\times10^{-4}.
n=2\to3:
E_3 = 1 + 0{,}0167\,\operatorname{sen}(1{,}01419) \approx 1 + 0{,}0167\times0{,}84905 = 1{,}01420,
diferença \lvert E_3 - E_2\rvert\approx8{,}0\times10^{-6}.
Como
\frac{L}{1-L}\,\lvert E_3 - E_2\rvert \le \frac{0{,}0167}{0{,}9833}\times8{,}0\times10^{-6} \approx 8{,}14\times10^{-6} < 10^{-5},
podemos parar aqui com a garantia de erro abaixo de 10^{-5}.

Resposta

A aproximação pelo método de ponto fixo é
E \approx 1{,}01420.

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