Dada f(x)=ln (raizx^2+1), o valor de f^prime(1) é:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = \ln \left( \sqrt{x^{2}+1} \right) $ e precisamos encontrar o valor da derivada dessa função quando $ x = 1 $, ou seja, $ f’(1) $. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente sobre derivadas de funções logarítmicas e uso da regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência:
f(x) = ln ( (x^2 + 1)^1/2 )
Usando uma propriedade dos logaritmos, podemos trazer o expoente para frente:
f(x) = 12 ln(x^2 + 1)

Passo 3

Agora, vamos derivar $ f(x) $. Lembre-se que a derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{u’}{u} $. Aplicando isso:
f(x)
Aqui, derivamos o interior $ u = x^{2} + 1 $, cuja derivada $ u’ = 2x $.

Passo 4

Simplificando a derivada:
f'(x) = xx^2 + 1

Resposta

O valor de $ f^{\prime}(1) $ é $ \frac{1}{2} $.

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