Dada
, o valor de
é:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = \ln \left( \sqrt{x^{2}+1} \right) $ e precisamos encontrar o valor da derivada dessa função quando $ x = 1 $, ou seja, $ f’(1) $. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente sobre derivadas de funções logarítmicas e uso da regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência:
Usando uma propriedade dos logaritmos, podemos trazer o expoente para frente:
Passo 3
Agora, vamos derivar $ f(x) $. Lembre-se que a derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{u’}{u} $. Aplicando isso:
Aqui, derivamos o interior $ u = x^{2} + 1 $, cuja derivada $ u’ = 2x $.
Passo 4
Simplificando a derivada:
Resposta
O valor de $ f^{\prime}(1) $ é $ \frac{1}{2} $.