Com relação a solução do problema de valor inicial:
Qual dos seguintes comportamentos limites é uma característica dessa solução:
Escolha uma opção: y -1 quando t infty y 1 quando t infty y 0 quando t infty y -infty quando t infty
Nenhuma das demais alternativas y infty quando t infty
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão apresenta um problema de valor inicial com a seguinte equação diferencial:
l y^prime prime+3 y^prime=0 y(0)=-2 y^prime(0)=3
Vamos precisar usar equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicar condições iniciais para encontrar a solução específica. Nosso objetivo final é determinar o comportamento da solução quando $ t $ tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
y^prime prime + 3 y^prime = 0
Para resolver isso, encontramos a equação característica associada:
r^2 + 3 r = 0
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica:
r^2 + 3 r = 0 Rightarrow r(r + 3) = 0
Isso nos dá as raízes:
r1 = 0 e r2 = -3
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^0 cdot t + C2 e^-3 t = C1 + C2 e^-3 t
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Aplicamos a primeira condição inicial $ y(0) = -2 $ na solução geral:
y(0) = -2
Então, temos a equação:
y(0) = C1 + C2 e^-3 cdot 0 = C1 + C2 = -2
Passo 6
Agora, derivamos $ y(t) $ para encontrar $ y’(t) $:
y(t)
Aplicamos a segunda condição inicial $ y’(0) = 3 $:
y'(t)
Resolvendo para $ C_2 $:
y(t) = C1 + C2 e^-3 t Rightarrow y'(t) = -3 C2 e^-3 t
Passo 7
Com $ C_2 = -1 $, substituímos na equação (1) para encontrar $ C_1 $:
C2 = -1
Passo 8
Agora, temos todas as constantes definidas, então a solução específica é:
y(t) = -1 - e^-3 t
Passo 9
Finalmente, analisamos o comportamento de $ y(t) $ quando $ t $ tende ao infinito:
y(t)
Resposta
O comportamento limite da solução é $ y \rightarrow -1 $ quando $ t \rightarrow \infty $.