Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o Wronskiano de duas funções: $ y_{1}(t) = \cos t $ e $ y_{2}(t) = \sin t $. O Wronskiano é uma ferramenta usada em cálculo para verificar se duas funções são linearmente independentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções e montar uma matriz que depois vamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o Wronskiano para duas funções. A fórmula é a seguinte:
Isso significa que vamos montar uma matriz com as funções e suas derivadas e depois calcular o determinante dessa matriz.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas das duas funções:
A derivada de $ y_{1}(t) = \cos t $ é:
y1(t) = cos t
A derivada de $ y_{2}(t) = \sin t $ é:
y1'(t) = -sin t
Passo 4
Com as derivadas em mãos, vamos montar a matriz do Wronskiano:
W(y1, y2) = cos t & sin t -sin t & cos t
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 2x2 a & b c & d é dado por ad - bc. Aplicando isso:
W(y1, y2) = (cos t)(cos t) - (sin t)(-sin t) = cos^2 t + sin^2 t
Passo 6
Sabemos de trigonometria que cos^2 t + sin^2 t = 1. Então:
W(y1, y2) = 1
Resposta
O Wronskiano das funções $ y_{1}(t) = \cos t $ e $ y_{2}(t) = \sin t $ é igual a 1.