Dada
, determine
e
no ponto
. Verifique o teorema de Clairaut. (1 ponto)
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. Pede para determinar:
-
em ; -
em ; -
em .
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula da função é
. - O ponto onde avaliar é
. - Observação sobre domínio: o denominador
não pode ser zero, ou seja . O ponto está no domínio porque .
Passo 2
Recordando o que vamos fazer (passo-a-passo de cálculo):
- Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem
e . - Depois derivamos essas expressões mais uma vez nas direções pedidas para obter as segundas derivadas mistas e
. - Em cada diferenciação usaremos a regra da cadeia quando aparecer
e a regra do produto quando necessário.
Explico rapidamente as ideias usadas: - Derivada parcial em
: derivar a função tratando como constante. - Derivada parcial em
: derivar a função tratando como constante. - Regra da cadeia: se
então . - Tudo deve ser feito com cuidado com sinais e fatores constantes.
Passo 3
Calcular
. Escrevo
como produto para aplicar a cadeia facilmente:
Derivando em
(com
constante):
Aplicando a regra da cadeia:
Portanto
Passo 4
Calcular
. A partir de
, derivando em
(com
constante):
Logo
Passo 5
Calcular a derivada mista
.
Usando e tratando
como constante ao derivar em
:
Usando
Usando a regra da cadeia já calculada:
logo
Passo 6
Calcular a derivada mista na outra ordem
.
Temos . Ao derivar em
(com
constante) é só derivar o polinômio em
:
Temos
Portanto
Passo 7
Conclusão intermediária sobre as mistas:
As duas expressões são idênticas, o que indica a igualdade das mistas onde faz sentido (onde
).
Passo 8
Calcular
.
Partimos de . Ao derivar em
(com
constante) aplicamos a regra da cadeia:
Partimos de
Calcule a derivada interna:
Multiplicando:
Passo 9
Avaliar todas as segundas derivadas no ponto
.
Primeiro calcule em
:
Primeiro calcule
Então
e
.
Avaliar
em
:
Avaliar
em
:
Avaliar
em
:
Passo 10
Verificação do teorema de Clairaut:
- O teorema afirma que se as segundas derivadas parciais mistas são contínuas numa vizinhança do ponto, então
nesse ponto. - Aqui
e são ambas funções racionais contínuas onde . Como tem , as segundas derivadas mistas são contínuas numa vizinhança de . - Encontramos
, portanto o teorema de Clairaut é verificado neste ponto.