Dada f(x, y)=\frac{2 y^{2}}{3 x+1}, determine \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} e \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} no ponto P(-1,2). Verifique o teorema de Clairaut. (1 ponto)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\dfrac{2y^{2}}{3x+1} e o ponto P(-1,2). Pede para determinar:
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} em P;
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} em P;
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} em P.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula da função é \displaystyle f(x,y)=\frac{2y^{2}}{3x+1}.
  • O ponto onde avaliar é P=(-1,2).
  • Observação sobre domínio: o denominador 3x+1 não pode ser zero, ou seja x\neq -\tfrac{1}{3}. O ponto x=-1 está no domínio porque 3(-1)+1=-2\neq 0.

Passo 2

Recordando o que vamos fazer (passo-a-passo de cálculo):
  • Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem \displaystyle f_x e \displaystyle f_y.
  • Depois derivamos essas expressões mais uma vez nas direções pedidas para obter as segundas derivadas mistas e \displaystyle f_{xx}.
  • Em cada diferenciação usaremos a regra da cadeia quando aparecer (3x+1)^{n} e a regra do produto quando necessário.
    Explico rapidamente as ideias usadas:
  • Derivada parcial em x: derivar a função tratando y como constante.
  • Derivada parcial em y: derivar a função tratando x como constante.
  • Regra da cadeia: se g(x)=(h(x))^{m} então g'(x)=m(h(x))^{m-1}h'(x).
  • Tudo deve ser feito com cuidado com sinais e fatores constantes.

Passo 3

Calcular f_x. Escrevo f como produto para aplicar a cadeia facilmente:
f(x,y)=2y^{2}\cdot(3x+1)^{-1}.
Derivando em x (com y constante):
f_x = 2y^{2}\cdot \frac{d}{dx}\bigl((3x+1)^{-1}\bigr).
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl((3x+1)^{-1}\bigr) = -1\cdot(3x+1)^{-2}\cdot 3 = -3(3x+1)^{-2}.
Portanto
f_x = 2y^{2}\cdot\bigl(-3(3x+1)^{-2}\bigr) = -6\; \frac{y^{2}}{(3x+1)^{2}}.

Passo 4

Calcular f_y. A partir de f(x,y)=2y^{2}(3x+1)^{-1}, derivando em y (com x constante):
f_y = \frac{d}{dy}\bigl(2y^{2}\bigr)\cdot(3x+1)^{-1} = 4y\cdot(3x+1)^{-1}.
Logo
f_y = \; \frac{4y}{3x+1}.

Passo 5

Calcular a derivada mista \displaystyle f_{xy}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(f_y\bigr).
Usando f_y=\dfrac{4y}{3x+1}=4y\,(3x+1)^{-1} e tratando y como constante ao derivar em x:
f_{xy} = 4y\cdot \frac{d}{dx}\bigl((3x+1)^{-1}\bigr).
Usando a regra da cadeia já calculada:
\frac{d}{dx}\bigl((3x+1)^{-1}\bigr) = -3(3x+1)^{-2},
logo
f_{xy} = 4y\cdot\bigl(-3(3x+1)^{-2}\bigr) = -12\; \frac{y}{(3x+1)^{2}}.

Passo 6

Calcular a derivada mista na outra ordem \displaystyle f_{yx}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(f_x\bigr).
Temos f_x = -6\,\dfrac{y^{2}}{(3x+1)^{2}}. Ao derivar em y (com x constante) é só derivar o polinômio em y:
f_{yx} = \frac{d}{dy}\Bigl(-6\,y^{2}\Bigr)\cdot(3x+1)^{-2} = (-12y)\cdot(3x+1)^{-2}.
Portanto
f_{yx} = -12\; \frac{y}{(3x+1)^{2}}.

Passo 7

Conclusão intermediária sobre as mistas:
f_{xy}(x,y)= -12\; \frac{y}{(3x+1)^{2}},\qquad f_{yx}(x,y)= -12\; \frac{y}{(3x+1)^{2}}.
As duas expressões são idênticas, o que indica a igualdade das mistas onde faz sentido (onde 3x+1\neq 0).

Passo 8

Calcular f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(f_x\bigr).
Partimos de f_x = -6y^{2}(3x+1)^{-2}. Ao derivar em x (com y constante) aplicamos a regra da cadeia:
f_{xx} = -6y^{2}\cdot \frac{d}{dx}\bigl((3x+1)^{-2}\bigr).
Calcule a derivada interna:
\frac{d}{dx}\bigl((3x+1)^{-2}\bigr) = -2(3x+1)^{-3}\cdot 3 = -6(3x+1)^{-3}.
Multiplicando:
f_{xx} = -6y^{2}\cdot\bigl(-6(3x+1)^{-3}\bigr) = 36\; \frac{y^{2}}{(3x+1)^{3}}.

Passo 9

Avaliar todas as segundas derivadas no ponto P(-1,2).
Primeiro calcule 3x+1 em x=-1:
3(-1)+1 = -2.
Então (3x+1)^{2}=4 e (3x+1)^{3}=-8.
Avaliar f_{xy} em P:
f_{xy}(-1,2) = -12\cdot\frac{2}{4} = -12\cdot\frac{1}{2} = -6.
Avaliar f_{yx} em P:
f_{yx}(-1,2) = -12\cdot\frac{2}{4} = -6.
Avaliar f_{xx} em P:
f_{xx}(-1,2) = 36\cdot\frac{2^{2}}{-8} = 36\cdot\frac{4}{-8} = 36\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = -18.

Passo 10

Verificação do teorema de Clairaut:
  • O teorema afirma que se as segundas derivadas parciais mistas são contínuas numa vizinhança do ponto, então f_{xy}=f_{yx} nesse ponto.
  • Aqui f_{xy} e f_{yx} são ambas funções racionais contínuas onde 3x+1\neq 0. Como P tem 3(-1)+1=-2\neq 0, as segundas derivadas mistas são contínuas numa vizinhança de P.
  • Encontramos f_{xy}(-1,2)=f_{yx}(-1,2)=-6, portanto o teorema de Clairaut é verificado neste ponto.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}( -1,2) = -6
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}( -1,2) = -6
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}( -1,2) = -18

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