Sejam f \overrightarrow{(t)}=t \vec{i}+2 t^{{2}} \vec{j}+3 t^{{3}} \vec{k} e g(\vec{t})=2 t \vec{i}+\vec{j}-3 t^{{2}} \vec{k}, com t \geq 0. Calcule:
\lim _{t \rightarrow 0} f(\overrightarrow{t}) \cdot g(\vec{t})

Passo 1

O enunciado dá duas funções vetoriais para t\ge 0:
  • f(t)=t\,\vec{i}+2t^{2}\,\vec{j}+3t^{3}\,\vec{k}.
  • g(t)=2t\,\vec{i}+\vec{j}-3t^{2}\,\vec{k}.
O que é pedido: calcular \displaystyle \lim_{t\to 0} f(t)\cdot g(t).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As componentes de f são \;f_1=t,\;f_2=2t^{2},\;f_3=3t^{3}.
  • As componentes de g são \;g_1=2t,\;g_2=1,\;g_3=-3t^{2}.

Passo 2

Lembrete útil (o que é produto escalar em \mathbb{R}^3):
Para dois vetores (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3) o produto escalar é
(a_1,a_2,a_3)\cdot(b_1,b_2,b_3)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Isso significa: multiplica-se componente a componente e soma-se os resultados. É uma soma de produtos escalares simples.

Passo 3

Identificando e escrevendo os produtos das componentes, usando as componentes listadas no Passo 1:
  • Primeiro termo: f_1 g_1 = t\cdot(2t).
  • Segundo termo: f_2 g_2 = 2t^{2}\cdot 1.
  • Terceiro termo: f_3 g_3 = 3t^{3}\cdot(-3t^{2}).

Passo 4

Calcule cada produto separadamente (mostrar as contas):
t\cdot(2t)=2t^{2}, \qquad 2t^{2}\cdot 1=2t^{2}, \qquad 3t^{3}\cdot(-3t^{2})=-9t^{5}.

Passo 5

Some os três termos para obter a expressão do produto escalar:
f(t)\cdot g(t)=2t^{2}+2t^{2}-9t^{5}=4t^{2}-9t^{5}.
Pode-se também fatorar t^{2}:
f(t)\cdot g(t)=t^{2}\bigl(4-9t^{3}\bigr).

Passo 6

Agora calcule o limite quando t\to 0. Pelo fato de \lim_{t\to 0}t^{2}=0 e \lim_{t\to 0}(4-9t^{3})=4, e usando a propriedade que o limite do produto é o produto dos limites (quando estes existem e são finitos),
\lim_{t\to 0} f(t)\cdot g(t)=\lim_{t\to 0} \bigl[t^{2}(4-9t^{3})\bigr]=\bigl(\lim_{t\to 0}t^{2}\bigr)\cdot\bigl(\lim_{t\to 0}(4-9t^{3})\bigr)=0\cdot 4=0.
(Alternativamente, polinômios são funções contínuas, então basta avaliar em t=0 na expressão 4t^{2}-9t^{5}, que dá 0.)

Resposta

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