Considere uma curva \gamma no plano que foi gerada da trajetória de um projétil lançado do solo, com velocidade inicial igual a zero. Sabendo que a curva \gamma possui a função x=1-\cos t, y=t-\operatorname{sen} t, \operatorname{com} \gamma:[0, \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2}. Determine o comprimento da curva deste projétil. (1 ponto)

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \gamma definida em [0,\pi] por
x(t)=1-\cos t,\qquad y(t)=t-\sin t,\qquad t\in[0,\pi].
O que a questão pede: determinar o comprimento da curva \gamma para t variando de 0 a \pi.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (a definição de comprimento de uma curva parametrizada).
Se \gamma(t)=(x(t),y(t)) é de classe C^1 em [a,b], então o comprimento L é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt.
Explicando a fórmula: x'(t) é a derivada de x em relação a t (velocidade na direção x), y'(t) é a derivada de y (velocidade na direção y), e o integrando é a norma da velocidade \sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}. Integrando essa norma ao longo do intervalo obtemos o comprimento da curva.

Passo 3

Calcular as derivadas x'(t) e y'(t). Usando regras básicas de derivação:
  • Derivada de 1 é 0. Derivada de -\cos t é -(-\sin t)=\sin t. Logo
x'(t)=\sin t.
  • Derivada de t é 1. Derivada de -\sin t é -\cos t. Logo
y'(t)=1-\cos t.

Passo 4

Montar o integrando da fórmula do comprimento:
\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}} =\sqrt{\sin^{2}t+\bigl(1-\cos t\bigr)^{2}}.
Expandindo e simplificando:
\sin^{2}t+(1-\cos t)^{2}=\sin^{2}t+1-2\cos t+\cos^{2}t.
Usando \sin^{2}t+\cos^{2}t=1 obtemos
\sin^{2}t+(1-\cos t)^{2}=1+1-2\cos t=2(1-\cos t).
Portanto o integrando é
\sqrt{2(1-\cos t)}.

Passo 5

Simplificar o radical usando identidade trigonométrica. Recorde: a identidade do ângulo metade é
1-\cos t = 2\sin^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right).
Substituindo,
\sqrt{2(1-\cos t)}=\sqrt{2\cdot 2\sin^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right)}=\sqrt{4\sin^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right)}=2\left|\sin\!\left(\frac{t}{2}\right)\right|.
Como t\in[0,\pi] temos \frac{t}{2}\in[0,\tfrac{\pi}{2}] e, portanto, \sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right)\ge 0. Assim podemos tirar o valor absoluto:
\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}=2\sin\!\left(\frac{t}{2}\right)\qquad\text{para }t\in[0,\pi].

Passo 6

Calcular o comprimento integrando o integrando simplificado:
L=\int_{0}^{\pi}2\sin\!\left(\frac{t}{2}\right)\,dt.
Fazendo a substituição u=\dfrac{t}{2}, temos dt=2\,du. Quando t=0\Rightarrow u=0; quando t=\pi\Rightarrow u=\dfrac{\pi}{2}. Então
L=\int_{0}^{\pi}2\sin\!\left(\frac{t}{2}\right)\,dt =2\cdot 2\int_{0}^{\pi/2}\sin u\,du =4\left[-\cos u\right]_{0}^{\pi/2}.
Avaliar a primitiva: \displaystyle \int \sin u\,du=-\cos u. Então
4\left[-\cos u\right]_{0}^{\pi/2}=4\bigl(-\cos(\tfrac{\pi}{2})+\cos 0\bigr)=4(0+1)=4.

Resposta

4

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