Considere uma curva \gamma no plano que foi gerada da trajetória de um projétil lançado do solo, com velocidade inicial igual a zero. Sabendo que a curva \gamma possui a função x=1-\cos t, y=t-\operatorname{sen} t, \operatorname{com} \gamma:[0, \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2}. Determine o comprimento da curva deste projétil. (1 ponto)
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica \gamma definida em [0,\pi] por
O que a questão pede: determinar o comprimento da curva \gamma para t variando de 0 a \pi.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (a definição de comprimento de uma curva parametrizada).
Se \gamma(t)=(x(t),y(t)) é de classe C^1 em [a,b], então o comprimento L é dado por
Explicando a fórmula: x'(t) é a derivada de x em relação a t (velocidade na direção x), y'(t) é a derivada de y (velocidade na direção y), e o integrando é a norma da velocidade \sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}. Integrando essa norma ao longo do intervalo obtemos o comprimento da curva.
Passo 3
Calcular as derivadas x'(t) e y'(t). Usando regras básicas de derivação:
Derivada de 1 é 0. Derivada de -\cos t é -(-\sin t)=\sin t. Logo
x'(t)=\sin t.
Derivada de t é 1. Derivada de -\sin t é -\cos t. Logo