Dada a forma reduzida \mathbf{F}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, \mathbf{R})=\mathbf{\Sigma} \mathbf{m}(\mathbf{0 , 1 , 3}) escreva sua correspondente
a. tabela da verdade
b. equação booleana.

Passo 1

O enunciado dá a forma reduzida \mathbf{F}(\mathbf{P},\mathbf{Q},\mathbf{R})=\Sigma m(0,1,3) e pede:
  • (a) a tabela da verdade;
  • (b) a equação booleana correspondente.
Informações relevantes (retiradas do enunciado):
  • A função é de três variáveis: P,\;Q,\;R.
  • Os mintermos onde F=1 são os de índice 0,1,3.
  • Vou usar a convenção padrão de índices de mintermos: o índice é o número binário formado por (P\;Q\;R) com P como bit mais significativo (MSB) e R como menos significativo (LSB). Assim, por exemplo, o mintermo m_3 corresponde a (P,Q,R)=(0,1,1).

Passo 2

Explicação didática sobre mintermos e índice binário (sem pular etapas):
  • Um mintermo é um produto (AND) que é verdadeiro só para uma combinação única de entradas.
  • Para três variáveis P,Q,R existem 2^3=8 combinações, numeradas de 0 a 7. A correspondência é feita pelo número binário (PQR)_2.
  • Lista explícita dos índices e suas combinações:
    • m_0 \leftrightarrow (P,Q,R)=(0,0,0)
    • m_1 \leftrightarrow (P,Q,R)=(0,0,1)
    • m_2 \leftrightarrow (P,Q,R)=(0,1,0)
    • m_3 \leftrightarrow (P,Q,R)=(0,1,1)
    • m_4 \leftrightarrow (P,Q,R)=(1,0,0)
    • m_5 \leftrightarrow (P,Q,R)=(1,0,1)
    • m_6 \leftrightarrow (P,Q,R)=(1,1,0)
    • m_7 \leftrightarrow (P,Q,R)=(1,1,1)
  • Como F=\Sigma m(0,1,3), então F=1 exatamente nas linhas acima correspondentes a m_0,m_1,m_3; para as demais linhas F=0.

Passo 3

Construção passo a passo da tabela da verdade:
  • Para cada combinação de (P,Q,R) colocamos F=1 se o índice da combinação está em \{0,1,3\}, senão F=0.
  • Montando as 8 linhas (colocando cada valor em TeX):
P\quad Q\quad R \quad|\quad F
\,0\quad 0\quad 0 \quad|\quad 1 (porque 0\in\{0,1,3\})
\,0\quad 0\quad 1 \quad|\quad 1 (porque 1\in\{0,1,3\})
\,0\quad 1\quad 0 \quad|\quad 0
\,0\quad 1\quad 1 \quad|\quad 1 (porque 3\in\{0,1,3\})
\,1\quad 0\quad 0 \quad|\quad 0
\,1\quad 0\quad 1 \quad|\quad 0
\,1\quad 1\quad 0 \quad|\quad 0
\,1\quad 1\quad 1 \quad|\quad 0

Passo 4

Formação da equação booleana como soma de mintermos (SOP padrão):
  • Cada mintermo m_i vira um produto de variáveis ou seus complementos, seguindo a combinação binária.
  • Escrevendo explicitamente:
    • m_0 (000) corresponde a \overline{P}\,\overline{Q}\,\overline{R}.
    • m_1 (001) corresponde a \overline{P}\,\overline{Q}\,R.
    • m_3 (011) corresponde a \overline{P}\,Q\,R.
  • Portanto a forma soma de produtos é
F=\overline{P}\,\overline{Q}\,\overline{R}+\overline{P}\,\overline{Q}\,R+\overline{P}\,Q\,R.

Passo 5

Simplificação algébrica da equação (passo a passo, com regras usadas):
  • Primeiro fatoramos \overline{P} (identidade distributiva):
F=\overline{P}\big(\overline{Q}\,\overline{R}+\overline{Q}\,R+Q\,R\big).
  • Dentro do parêntese, aplicamos a propriedade \overline{Q}\,\overline{R}+\overline{Q}\,R=\overline{Q}(\overline{R}+R)=\overline{Q}\cdot 1=\overline{Q}. Então
F=\overline{P}\big(\overline{Q}+Q\,R\big).
  • Agora usamos a identidade booleana X + \overline{X}Y = X + Y (ou ver via fatoração: \overline{Q}+Q\,R=(\overline{Q}+Q)(\overline{Q}+R)=1\cdot(\overline{Q}+R)=\overline{Q}+R). Assim
F=\overline{P}\big(\overline{Q}+R\big).
  • Podemos deixar a forma simplificada como produto soma ou expandida:
F=\overline{P}(\overline{Q}+R)=\overline{P}\,\overline{Q}+\overline{P}\,R.

Resposta

(a) Tabela da verdade:
P\quad Q\quad R \quad|\quad F
\,0\quad 0\quad 0 \quad|\quad 1
\,0\quad 0\quad 1 \quad|\quad 1
\,0\quad 1\quad 0 \quad|\quad 0
\,0\quad 1\quad 1 \quad|\quad 1
\,1\quad 0\quad 0 \quad|\quad 0
\,1\quad 0\quad 1 \quad|\quad 0
\,1\quad 1\quad 0 \quad|\quad 0
\,1\quad 1\quad 1 \quad|\quad 0
(b) Equação booleana:
F=\overline{P}\,\overline{Q}\,\overline{R}+\overline{P}\,\overline{Q}\,R+\overline{P}\,Q\,R=\overline{P}(\overline{Q}+R)=\overline{P}\,\overline{Q}+\overline{P}\,R.

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