Dada a forma reduzida \mathbf{F}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, \mathbf{R})=\mathbf{\Sigma} \mathbf{m}(\mathbf{0 , 1 , 3}) escreva sua correspondente
a. tabela da verdade
b. equação booleana.
Passo 1
O enunciado dá a forma reduzida \mathbf{F}(\mathbf{P},\mathbf{Q},\mathbf{R})=\Sigma m(0,1,3) e pede:
(a) a tabela da verdade;
(b) a equação booleana correspondente.
Informações relevantes (retiradas do enunciado):
A função é de três variáveis: P,\;Q,\;R.
Os mintermos onde F=1 são os de índice 0,1,3.
Vou usar a convenção padrão de índices de mintermos: o índice é o número binário formado por (P\;Q\;R) com P como bit mais significativo (MSB) e R como menos significativo (LSB). Assim, por exemplo, o mintermo m_3 corresponde a (P,Q,R)=(0,1,1).
Passo 2
Explicação didática sobre mintermos e índice binário (sem pular etapas):
Um mintermo é um produto (AND) que é verdadeiro só para uma combinação única de entradas.
Para três variáveis P,Q,R existem 2^3=8 combinações, numeradas de 0 a 7. A correspondência é feita pelo número binário (PQR)_2.
Lista explícita dos índices e suas combinações:
m_0 \leftrightarrow (P,Q,R)=(0,0,0)
m_1 \leftrightarrow (P,Q,R)=(0,0,1)
m_2 \leftrightarrow (P,Q,R)=(0,1,0)
m_3 \leftrightarrow (P,Q,R)=(0,1,1)
m_4 \leftrightarrow (P,Q,R)=(1,0,0)
m_5 \leftrightarrow (P,Q,R)=(1,0,1)
m_6 \leftrightarrow (P,Q,R)=(1,1,0)
m_7 \leftrightarrow (P,Q,R)=(1,1,1)
Como F=\Sigma m(0,1,3), então F=1 exatamente nas linhas acima correspondentes a m_0,m_1,m_3; para as demais linhas F=0.
Passo 3
Construção passo a passo da tabela da verdade:
Para cada combinação de (P,Q,R) colocamos F=1 se o índice da combinação está em \{0,1,3\}, senão F=0.
Montando as 8 linhas (colocando cada valor em TeX):
Dentro do parêntese, aplicamos a propriedade \overline{Q}\,\overline{R}+\overline{Q}\,R=\overline{Q}(\overline{R}+R)=\overline{Q}\cdot 1=\overline{Q}. Então
F=\overline{P}\big(\overline{Q}+Q\,R\big).
Agora usamos a identidade booleana X + \overline{X}Y = X + Y (ou ver via fatoração: \overline{Q}+Q\,R=(\overline{Q}+Q)(\overline{Q}+R)=1\cdot(\overline{Q}+R)=\overline{Q}+R). Assim
F=\overline{P}\big(\overline{Q}+R\big).
Podemos deixar a forma simplificada como produto soma ou expandida: