1. Dada a forma reduzida F(A, B, C, D)=\pi M(0,1,2,13,14,15) preencha a tabela da verdade

Passo 1

O enunciado dá a função booleana F(A,B,C,D)=\pi M(0,1,2,13,14,15) e pede para preencher a tabela verdade. Informações relevantes que temos:
  • A função está em forma de produto de maxtermos: \pi M(0,1,2,13,14,15).
  • As variáveis são A, B, C e D.
  • Os índices listados são \{0,1,2,13,14,15\}.
  • A tarefa: escrever a tabela-verdade completa com todas as 16 combinações de (A,B,C,D) e o valor de F para cada combinação.

Passo 2

Explicando a notação (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • \pi M(\dots) significa “produto de maxtermos”. Cada índice da lista corresponde a um maxtermo que é fator do produto.
  • Um maxtermo M_i é uma soma de literais que vale 0 exatamente para a combinação de entrada que tem índice i. Logo, se i aparece na lista de \pi M, a função F vale 0 nessa combinação.
  • Portanto, a consequência prática que vamos usar é simples e crucial: para todo i em \{0,1,2,13,14,15\} temos F=0; para os demais i (os índices não listados) temos F=1. Isso porque o produto de maxtermos só será zero quando algum maxtermo for zero, isto é, quando a combinação for uma das listadas.
  • Precisamos também fixar a convenção de indexação: o índice decimal corresponde ao vetor binário (A,B,C,D) com A como bit mais significativo e D como bit menos significativo. Ou seja \text{índice} = 8\cdot A + 4\cdot B + 2\cdot C + 1\cdot D,ícom A,B,C,D\in\{0,1\}.

Passo 3

Vou transformar os índices em suas combinações binárias de 4 bits e listar quais índices dão F=0 e quais dão F=1:
  • Indexes onde F=0: \{0,1,2,13,14,15\}. Em binário (com 4 bits) esses são:
    • 0 = (0,0,0,0)
    • 1 = (0,0,0,1)
    • 2 = (0,0,1,0)
    • 13 = (1,1,0,1)
    • 14 = (1,1,1,0)
    • 15 = (1,1,1,1)
  • Todos os demais índices i\in\{3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\} correspondem a combinações em que F=1.
Explicando brevemente como converter um decimal para 4 bits (dica rápida para usar na prova): divida o número pelas potências 8,4,2,1 para obter os bits A,B,C,D respectivamente. Por exemplo, para 13: 13\div8 dá bit A=1 (resto 5); 5\div4 B=1 (resto 1); 1\div2 C=0 (resto 1); por fim D=1.

Passo 4

Agora vou montar a tabela verdade completa listando as 16 combinações em ordem crescente de índice (de 0 a 15). Para cada linha eu coloco (A,B,C,D) em 4 bits e o valor de F conforme o item anterior ( F=0 se o índice está na lista de maxtermos, caso contrário F=1).

Resposta

A\\ B\\ C\\ D\\ \;F
0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\ \;0
0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\ \;0
0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\ \;0
0\\\ 0\\\ 1\\\ 1\\ \;1
0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\ \;1
0\\\ 1\\\ 0\\\ 1\\ \;1
0\\\ 1\\\ 1\\\ 0\\ \;1
0\\\ 1\\\ 1\\\ 1\\ \;1
1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\ \;1
1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\ \;1
1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\ \;1
1\\\ 0\\\ 1\\\ 1\\ \;1
1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\ \;1
1\\\ 1\\\ 0\\\ 1\\ \;0
1\\\ 1\\\ 1\\\ 0\\ \;0
1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\\ \;0

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