Dada a função
. Encontre a raiz da função usando o método de Newton-Raphson com erro
. Entre
c
existe uma raiz, escolha o melhor valor para usar como ponto inicial
no método de Newton-Raphson, use o critério de convergência. Utilize precisîto de 4 casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma raiz da função
usando o método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica numérica para encontrar aproximações das raízes de uma função. Para isso, vamos precisar:
- A função
- A derivada da função
- Um ponto inicial
entre -2 e -1, já que sabemos que uma raiz está nesse intervalo.
Vamos seguir os passos certinhos para chegar na resposta com precisão de 4 casas decimais e erro menor que 0,01.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da função em qualquer ponto e é essencial para o método de Newton-Raphson. Calculando:
Passo 3
Agora, vamos escolher o melhor valor para começar, ou seja, nosso ponto inicial
. Como a raiz está entre -2 e -1, vamos avaliar a função nesses pontos para ver qual dá um valor que facilita os cálculos:
Calculando
:
Calculando
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está nesse intervalo. Vamos escolher
porque
está mais próximo de zero, o que pode acelerar a convergência.
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula do método de Newton-Raphson:
Primeira iteração (
) com
:
Passo 5
Segunda iteração (
) com
:
Passo 6
Terceira iteração (
) com
:
Passo 7
Quarta iteração (
) com
:
Passo 8
Quinta iteração (
) com
:
Como a diferença entre
e
é menor que 0,01, podemos parar aqui.
Resposta
A raiz da função
encontrada pelo método de Newton-Raphson é aproximadamente
.