Dada a função f(x)=x^3-2,2 x^2-2,15 x+5,1. Encontre a raiz da função usando o método de Newton-Raphson com erro <0,01. Entre x=-2 c x=-1 existe uma raiz, escolha o melhor valor para usar como ponto inicial (xo) no método de Newton-Raphson, use o critério de convergência. Utilize precisîto de 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma raiz da função usando o método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica numérica para encontrar aproximações das raízes de uma função. Para isso, vamos precisar:
  • A função
  • A derivada da função
  • Um ponto inicial entre -2 e -1, já que sabemos que uma raiz está nesse intervalo.
    Vamos seguir os passos certinhos para chegar na resposta com precisão de 4 casas decimais e erro menor que 0,01.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f'(x) = ddx(x^3) - ddx(2,2x^2) - ddx(2,15x) + ddx(5,1) = 3x^2 - 4,4x - 2,15 . A derivada nos dá a inclinação da função em qualquer ponto e é essencial para o método de Newton-Raphson. Calculando:

Passo 3

Agora, vamos escolher o melhor valor para começar, ou seja, nosso ponto inicial f(-2) = (-2)^3 - 2,2(-2)^2 - 2,15(-2) + 5,1 = -8 - 8,8 + 4,3 + 5,1 = -7,4 . Como a raiz está entre -2 e -1, vamos avaliar a função nesses pontos para ver qual dá um valor que facilita os cálculos:
Calculando f(-1) = (-1)^3 - 2,2(-1)^2 - 2,15(-1) + 5,1 = -1 - 2,2 + 2,15 + 5,1 = 4,05 :
Calculando :
Como é negativo e é positivo, a raiz está nesse intervalo. Vamos escolher porque está mais próximo de zero, o que pode acelerar a convergência.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula do método de Newton-Raphson:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Primeira iteração ( f(-1) = 4,05 ) com f'(-1) = 3(-1)^2 - 4,4(-1) - 2,15 = 3 + 4,4 - 2,15 = 5,25 :
x1 = -1 - 4,055,25 approx -1 - 0,7714 = -1,7714

Passo 5

Segunda iteração ( f(-1,7714) approx (-1,7714)^3 - 2,2(-1,7714)^2 - 2,15(-1,7714) + 5,1 approx -5,55 ) com f'(-1,7714) approx 3(-1,7714)^2 - 4,4(-1,7714) - 2,15 approx 14,15 :
x2 = -1,7714 - -5,5514,15 approx -1,7714 + 0,3923 = -1,3791

Passo 6

Terceira iteração ( f(-1,3791) approx (-1,3791)^3 - 2,2(-1,3791)^2 - 2,15(-1,3791) + 5,1 approx 0,2285 ) com f'(-1,3791) approx 3(-1,3791)^2 - 4,4(-1,3791) - 2,15 approx 9,927 :
x3 = -1,3791 - 0,22859,927 approx -1,3791 - 0,0230 = -1,4021

Passo 7

Quarta iteração ( f(-1,4021) approx (-1,4021)^3 - 2,2(-1,4021)^2 - 2,15(-1,4021) + 5,1 approx -0,0137 ) com f'(-1,4021) approx 3(-1,4021)^2 - 4,4(-1,4021) - 2,15 approx 10,489 :
x4 = -1,4021 - -0,013710,489 approx -1,4021 + 0,0013 = -1,4008

Passo 8

Quinta iteração ( f(-1,4008) approx (-1,4008)^3 - 2,2(-1,4008)^2 - 2,15(-1,4008) + 5,1 approx 0,0005 ) com f'(-1,4008) approx 3(-1,4008)^2 - 4,4(-1,4008) - 2,15 approx 10,471 :
x5 = -1,4008 - 0,000510,471 approx -1,4008 - 0,0000 = -1,4008
Como a diferença entre e é menor que 0,01, podemos parar aqui.

Resposta

A raiz da função encontrada pelo método de Newton-Raphson é aproximadamente .

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