Dada uma função analítica f: A \rightarrow C, dizemos que z_{0} \in A é um ponto crítico de f se f^{\prime}\left(z_{0}\right)=0. Considere a função inteira: f(z)=e^{z^{3}-3 z^{2}+6 z}. Determinar todos os pontos críticos de f, ou seja, todos os z \in C tais que f^{\prime}(z)=0.

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C} definida por
f(z)=e^{z^{3}-3z^{2}+6z},
isto é, todos os pontos z tais que f'(z)=0. O conteúdo usado aqui é a regra da cadeia para derivar uma exponencial e o fato de que e^{w}\neq0 para todo w\in\mathbb{C}.

Passo 2

Vamos escrever g(z)=z^{3}-3z^{2}+6z. Pela regra da cadeia,
f'(z)=g'(z)\,e^{g(z)}.
Como e^{g(z)} nunca é zero, a condição f'(z)=0 equivale a
g'(z)=0.

Passo 3

Calculamos
g'(z)=\frac{d}{dz}\bigl(z^{3}-3z^{2}+6z\bigr)=3z^{2}-6z+6.
Então resolvemos a equação
3z^{2}-6z+6=0.

Passo 4

Dividindo por 3, obtemos
z^{2}-2z+2=0.
Usando a fórmula de Bhaskara,
z=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot2}}{2} =\frac{2\pm\sqrt{4-8}}{2} =1\pm i.

Resposta

Os pontos críticos de f são
z=1+i \quad\text{e}\quad z=1-i.

Exercícios relacionados