Suponha que uma função f=u+i v seja analítica em uma região D \subset C, e que v(z)=[u(z)]^{2} para todo z \in D. Prove que f é constante em D.

Passo 1

O enunciado diz que f=u+iv é analítica em uma região D\subset\mathbb{C} e satisfaz
v(z) = \bigl(u(z)\bigr)^2,\quad \forall z\in D.
Queremos usar as equações de Cauchy–Riemann para mostrar que u (e, portanto, v) é constante, logo f é constante em D.

Passo 2

As equações de Cauchy–Riemann para u e v são
u_x = v_y
e
u_y = -\,v_x.

Passo 3

Como v = u^2, calculamos as derivadas parciais de v:
v_x = 2\,u\,u_x,
v_y = 2\,u\,u_y.

Passo 4

Substituindo em Cauchy–Riemann, temos
u_x = v_y = 2\,u\,u_y,
u_y = -\,v_x = -\,2\,u\,u_x.

Passo 5

Da primeira relação u_x = 2u\,u_y e da segunda u_y = -2u\,u_x, substituímos u_y na primeira:
u_x = 2u\bigl(-2u\,u_x\bigr) = -4u^2\,u_x \quad\Longrightarrow\quad (1+4u^2)\,u_x = 0.
Como u é real, 1+4u^2>0, logo u_x=0. Então da segunda equação segue u_y=0. Portanto u é constante em D.

Resposta

Como u é constante e v=u^2 também, concluímos que f(z)=u+i\,v é constante em D.

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