Suponha que uma função
seja analítica em uma região
, e que
para todo
. Prove que
é constante em
.
Passo 1
O enunciado diz que
é analítica em uma região
e satisfaz
Queremos usar as equações de Cauchy–Riemann para mostrar que
(e, portanto,
) é constante, logo
é constante em
.
Passo 2
As equações de Cauchy–Riemann para
e
são
e
Passo 3
Como
, calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 4
Substituindo em Cauchy–Riemann, temos
Passo 5
Da primeira relação
e da segunda
, substituímos
na primeira:
Como
é real,
, logo
. Então da segunda equação segue
. Portanto
é constante em
.
Resposta
Como
é constante e
também, concluímos que
é constante em
.