1. Dada a função custo C(x)=-3 x^{2}+3 x+9 e a função receita R(x)=6 x^{2}+8 x-2. Encontre a função lucro marginal e calcule o lucro marginal para x=90
Resposta:
\begin{gathered} L(x)=9 x^{2}+5 x-11 \\\ L^{\prime}(x)=18 x+5 \\\ L^{\prime}(90)=1625 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá as duas funções e pede duas coisas claras (peguei estas expressões do enunciado):
  • Função custo: C(x)=-3 x^{2}+3 x+9.
  • Função receita: R(x)=6 x^{2}+8 x-2.
O que é pedido:
  • Encontrar a função lucro marginal (ou seja, a derivada da função lucro).
  • Calcular o valor desse lucro marginal para x=90.

Passo 2

Definir a função lucro L(x). Por definição, lucro é receita menos custo, ou seja:
L(x)=R(x)-C(x).
Aqui x representa a quantidade produzida/vendida (cada termo das funções está em função de x). Então primeiro vamos obter a expressão explícita de L(x) substituindo R(x) e C(x).

Passo 3

Calcular L(x) fazendo a subtração termo a termo. Substituindo:
L(x)=\big(6 x^{2}+8 x-2\big)-\big(-3 x^{2}+3 x+9\big).
Abrindo os parênteses (note o sinal menos na frente do segundo parêntese, que inverte os sinais dos termos nele):
L(x)=6 x^{2}+8 x-2 +3 x^{2}-3 x-9.
Agora agrupamos termos semelhantes (potências iguais de x):
\begin{aligned} \text{termos }x^{2}:&\\\ 6 x^{2}+3 x^{2}=9 x^{2},\\\ \text{termos }x:&\\\ 8 x-3 x=5 x,\\\ \text{constantes:}&\\\ -2-9=-11. \end{aligned}
Portanto:
L(x)=9 x^{2}+5 x-11.

Passo 4

Explicar o que é lucro marginal e a regra de derivação que usaremos. O lucro marginal é a derivada de L(x) em relação a x, escrita L'(x). Para derivar polinômios usamos a regra: se temos um termo \,a x^{n}\, então a derivada é \,a n x^{n-1}\,. A derivada de uma constante é 0. Exemplos curtos para fixar:
  • Derivada de \,3x^{2}\, é \,3\cdot2 x^{1}=6x.
  • Derivada de \,5x\, é \,5.
  • Derivada de -11 é 0.

Passo 5

Aplicar a regra ao nosso L(x)=9 x^{2}+5 x-11:
L'(x)=\frac{d}{dx}\big(9 x^{2}\big)+\frac{d}{dx}\big(5 x\big)+\frac{d}{dx}\big(-11\big).
Calculando cada derivada:
\frac{d}{dx}\big(9 x^{2}\big)=9\cdot2 x=18 x, \qquad \frac{d}{dx}\big(5 x\big)=5, \qquad \frac{d}{dx}\big(-11\big)=0.
Somando:
L'(x)=18 x+5.

Passo 6

Avaliar L'(x) em x=90. Substituindo:
L'(90)=18\cdot90+5.
Fazendo a conta de forma prática sem calculadora: 18\cdot90=18\cdot(9\cdot10)=(18\cdot9)\cdot10=162\cdot10=1620. Então
L'(90)=1620+5=1625.

Passo 7

Interpretação rápida (útil para a prova): L'(90)=1625 significa que, ao produzir/ vender cerca de 90 unidades, a taxa de variação do lucro em relação à quantidade é \,1625 (unidades monetárias por unidade produzida). Em outras palavras, produzir mais uma unidade nessa região aumentaria o lucro em aproximadamente \,1625.

Resposta

L(x)=9 x^{2}+5 x-11
L^{\prime}(x)=18 x+5
L^{\prime}(90)=1625

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