- Dada a função custo
e a função receita
. Encontre a função lucro marginal e calcule o lucro marginal para
Resposta:
Passo 1
O enunciado dá as duas funções e pede duas coisas claras (peguei estas expressões do enunciado):
- Função custo:
- Função receita:
O que é pedido:
- Encontrar a função lucro marginal (ou seja, a derivada da função lucro).
- Calcular o valor desse lucro marginal para
.
Passo 2
Definir a função lucro
. Por definição, lucro é receita menos custo, ou seja:
Aqui
representa a quantidade produzida/vendida (cada termo das funções está em função de
). Então primeiro vamos obter a expressão explícita de
substituindo
e
.
Passo 3
Calcular
fazendo a subtração termo a termo. Substituindo:
Abrindo os parênteses (note o sinal menos na frente do segundo parêntese, que inverte os sinais dos termos nele):
Agora agrupamos termos semelhantes (potências iguais de
):
Portanto:
Passo 4
Explicar o que é lucro marginal e a regra de derivação que usaremos. O lucro marginal é a derivada de
em relação a
, escrita
. Para derivar polinômios usamos a regra: se temos um termo
então a derivada é
. A derivada de uma constante é
. Exemplos curtos para fixar:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Passo 5
Aplicar a regra ao nosso
:
Calculando cada derivada:
Somando:
Passo 6
Avaliar
em
. Substituindo:
Fazendo a conta de forma prática sem calculadora:
. Então
Passo 7
Interpretação rápida (útil para a prova):
significa que, ao produzir/ vender cerca de
unidades, a taxa de variação do lucro em relação à quantidade é
(unidades monetárias por unidade produzida). Em outras palavras, produzir mais uma unidade nessa região aumentaria o lucro em aproximadamente
.